1. четырёхугольник MNKP задан координатами своих вершин М(-6;1) , N(2;5), К(4:-1), Р(-4;-5). Докажите,...

1. Для доказательства того, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, достаточно показать, что векторы MN и KP равны. Диагонали параллелограмма равны по длине и пересекаются в его центре. Диагонали MN и KP можно найти по формуле для расстояния между двумя точками в пространстве.

2. Для нахождения длины медианы, проведённой из вершины C, можно воспользоваться формулой медианы в треугольнике, которая гласит: медиана из вершины C равна половине квадрата корня из суммы квадратов сторон AC и BC, и квадрат длины высоты, проведенной из вершины C.

1. Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны. Для этого можно вычислить коэффициенты наклона прямых, содержащих стороны MN и KP, а также стороны MP и NK. Если эти коэффициенты равны, то стороны параллельны. Для прямой MN коэффициент наклона равен (5-1)/(2-(-6)) = 4/8 = 0.5 Для прямой KP коэффициент наклона равен ((-5)-(-1))/((-4)-4) = -4/(-8) = 0.5 Таким образом, стороны MN и KP параллельны. Для прямой MP коэффициент наклона равен ((-5)-1)/((-4)-(-6)) = -6/2 = -3 Для прямой NK коэффициент наклона равен (5-(-1))/(2-4) = 6/-2 = -3 Таким образом, стороны MP и NK параллельны. Следовательно, четырёхугольник MNKP является параллелограммом.

Для нахождения диагоналей параллелограмма можно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: Диагональ BD: sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = sqrt((2-(-4))^2 + (5-(-5))^2) = sqrt(6^2 + 10^2) = sqrt(36 + 100) = sqrt(136) Диагональ AC: sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = sqrt((4-(-6))^2 + (-1-1)^2) = sqrt(10^2 + (-2)^2) = sqrt(100 + 4) = sqrt(104)

1. Для нахождения длины медианы, проведённой из вершины C, в треугольнике ABC, необходимо воспользоваться формулой медианы в треугольнике: Медиана из вершины C делит сторону AB в отношении, равном отношению площадей треугольников ACB и CBA. Площадь треугольника ACB: (1/2) AC h, где h - высота треугольника из вершины C Площадь треугольника CBA: (1/2) CB h По условию, AC = 4, CB = 8, угол А = 45 градусов, следовательно, угол С = 90 градусов. Высота треугольника из вершины C равна 8, так как это длина отрезка Со. Площадь треугольника ACB = (1/2) 4 8 = 16 Площадь треугольника CBA = (1/2) 8 8 = 32 Отношение площадей треугольников: 16/32 = 1/2 Итак, медиана, проведённая из вершины C, равна половине стороны AB, то есть 4.

Задача 1: Докажите, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом и найдите его диагонали.

Для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны были попарно параллельны или равны.

Шаг 1: Проверка параллельности сторон

Чтобы проверить параллельность сторон, рассчитаем векторы и их направления (косинусы углов между ними). Для этого используем координаты вершин:

• Вектор (\overrightarrow{MN} = (2 - (-6), 5 - 1) = (8, 4))
• Вектор (\overrightarrow{KP} = (-4 - 4, -5 - (-1)) = (-8, -4))

Так как (\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{KP}), стороны (MN) и (KP) параллельны.

• Вектор (\overrightarrow{NK} = (4 - 2, -1 - 5) = (2, -6))
• Вектор (\overrightarrow{MP} = (-4 - (-6), -5 - 1) = (2, -6))

Так как (\overrightarrow{NK} = \overrightarrow{MP}), стороны (NK) и (MP) также параллельны.

Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырёхугольник MNKP является параллелограммом.

Шаг 2: Найдите диагонали параллелограмма

Диагонали параллелограмма можно найти по их длине, используя формулу расстояния между двумя точками.

• Диагональ (MK): [ MK = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{10^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} ]

• Диагональ (NP): [ NP = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-10)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} ]

Задача 2: Найдите длину медианы, проведённой из вершины С в треугольнике ABC

Даны: (\angle A = 45^\circ), (AO = 4), (OC = 8).

Шаг 1: Найдите длину стороны (AC)

Сумма отрезков (AO) и (OC) равна длине стороны (AC): [ AC = AO + OC = 4 + 8 = 12 ]

Шаг 2: Найдите длину стороны (BC)

Поскольку высота делит треугольник на два прямоугольных, можно использовать теорему Пифагора. Пусть (h) — высота из вершины (B) на (AC). Из точки (O), где высота пересекает (AC), имеем два прямоугольных треугольника. Зная, что (\angle A = 45^\circ), можем выразить (BO):

[ \tan(45^\circ) = \frac{BO}{AO} \quad \Rightarrow \quad BO = AO = 4 ]

Теперь найдем (BC): [ BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} ]

Шаг 3: Найдите длину медианы (CM)

Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. Формула длины медианы (CM) из вершины (C) к основанию (AB): [ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} ] Поскольку не дано (AB), используем косинус: [ CM = \sqrt{\frac{2(AB^2 + BC^2) - AC^2}{4}} ]

Так как нет координат для (AB), задача требует дополнительной информации о (AB) или использования теорем о треугольниках. Таким образом, решение будет зависеть от оставшихся данных.