а) с концом в точке C1, равный вектору AD;
б) равный BC1+C1D; в) равный A1C-A1C1;
г) x, удовлетворяющий равенству B1A1+B1C1+x=B1D.
а) Постройте вектор 1/2DC-1/2DB и найдите его длину.
б) Найдите OB+BC-DC.
Давайте разберем каждую из задач по очереди.
Вектор ( \overrightarrow{AD} ) идет от точки ( A ) к точке ( D ). Чтобы найти вектор с таким же направлением и длиной, но с концом в ( C_1 ), мы должны найти аналогичный вектор, который начинается в какой-то точке и заканчивается в ( C_1 ). Так как куб имеет все ребра равной длины и параллельные ребра, вектор ( \overrightarrow{B_1C_1} ) будет равен ( \overrightarrow{AD} ), если он направлен в ту же сторону. Таким образом, вектор с концом в ( C_1 ), равный ( \overrightarrow{AD} ), будет ( \overrightarrow{B_1C_1} ).
Вектор ( \overrightarrow{BC_1} ) идет от ( B ) к ( C_1 ), а ( \overrightarrow{C_1D} ) идет от ( C_1 ) к ( D ). Сложение этих векторов дает вектор ( \overrightarrow{BD} ), так как это эквивалентно перемещению от ( B ) к ( D ) через ( C_1 ).
Вектор ( \overrightarrow{A_1C} ) идет от ( A_1 ) к ( C ), а ( \overrightarrow{A_1C_1} ) идет от ( A_1 ) к ( C_1 ). Разность этих векторов ( \overrightarrow{A_1C} - \overrightarrow{A_1C_1} ) равна вектору ( \overrightarrow{C_1C} ), который идет от ( C_1 ) к ( C ).
Решая это уравнение, мы получаем:
[ x = \overrightarrow{B_1D} - \overrightarrow{B_1A_1} - \overrightarrow{B_1C_1}. ]
Каждый из этих векторов представляет одно из ребер куба. Вектор ( \overrightarrow{A_1C_1} ) будет соответствовать ( x ), так как ( \overrightarrow{B_1D} ) равен сумме ( \overrightarrow{B_1A_1} ), ( \overrightarrow{A_1C_1} ) и ( \overrightarrow{B_1C_1} ) в правильной ориентации.
Вектор ( \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} ) является половиной разности между векторами от точки ( D ) к точкам ( C ) и ( B ). Это вектор, который направлен от середины отрезка ( DB ) к середине отрезка ( DC ). Если ( D ), ( B ), и ( C ) являются вершинами правильного треугольника со стороной ( a ), то длина этого вектора будет равна половине длины стороны треугольника, то есть ( \frac{a}{2} ).
Поскольку ( O ) — центр треугольника ( ABC ), ( \overrightarrow{OB} ) — вектор от центра к вершине ( B ). Вектор ( \overrightarrow{BC} ) идет от ( B ) к ( C ), а ( \overrightarrow{DC} ) идет от ( D ) к ( C ). Комбинируя эти векторы, мы получаем ( \overrightarrow{OD} ).
Поскольку ( MB ) перпендикулярно плоскости ( \triangle ABC ), компоненты ( \overrightarrow{MC} ) и ( \overrightarrow{MA} ) вдоль ( MB ) будут равны нулю. Следовательно, ( \overrightarrow{MC} ) и ( \overrightarrow{MA} ) можно разложить только в плоскости ( \triangle ABC ) по векторам ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ).
Для разложения, например, вектора ( \overrightarrow{MC} ), используем параметры ( x ) и ( y ) такие, что:
[ \overrightarrow{MC} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}. ]
Подобный подход применим и для ( \overrightarrow{MA} ). Поскольку конкретные числовые значения не даны, разложение выражается через линейные комбинации указанных векторов.
Эти задачи требуют понимания векторной алгебры и геометрии, и решения зависят от заданных условий и свойств фигур.
а) Вектор с концом в точке C1, равный вектору AD, можно найти, используя свойство параллельности сторон куба. Таким образом, вектор CD1 равен вектору AD.
б) Вектор, равный BC1 + C1D, можно найти, сложив векторы BC1 и C1D.
в) Вектор, равный A1C - A1C1, можно найти, вычитая вектор A1C1 из вектора A1C.
г) x, удовлетворяющий равенству B1A1 + B1C1 + x = B1D, можно найти, вычитая из суммы векторов B1A1 и B1C1 вектор B1D.
а) Вектор 1/2DC - 1/2DB можно найти, используя свойство равнобедренности тетраэдра. Найдя длину этого вектора, можно вычислить его длину, зная длины ребер тетраэдра.
б) OB + BC - DC можно найти, сложив вектор OB с вектором BC и вычитая из результата вектор DC.
Разложение векторов MC и MA по векторам AB, AC, MB можно найти, используя свойства перпендикулярности и равенства углов.
