Для построения векторов на основе данных векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):
а) ( \mathbf{a}+\mathbf{b} ) - это вектор, полученный сложением соответствующих компонент векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ). Геометрически это можно представить как построение вектора ( \mathbf{b} ) начиная от конца вектора ( \mathbf{a} ), или наоборот. Результирующий вектор будет направлен от начала вектора ( \mathbf{a} ) до конца построенного вектора ( \mathbf{b} ).
б) ( \mathbf{a}-\mathbf{b} ) - вектор, получаемый вычитанием компонент вектора ( \mathbf{b} ) из компонент вектора ( \mathbf{a} ). Геометрически вектор ( \mathbf{b} ) можно представить направленным в противоположную сторону, и его конец соединяется с концом вектора ( \mathbf{a} ).
в) ( 2\mathbf{a}-\mathbf{b} ) - для нахождения этого вектора сначала удваивают вектор ( \mathbf{a} ) (т.е. каждую компоненту умножают на 2), а затем из результата вычитают вектор ( \mathbf{b} ), аналогично предыдущему пункту.
В параллелограмме ABCD:
а) Вектор ( \mathbf{AC} ) в параллелограмме ABCD можно выразить как ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ). Это следует из правила сложения векторов и свойства параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны).
б) Вектор ( \mathbf{AO} ) - так как точка О является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, и диагонали делятся пополам в точке пересечения, ( \mathbf{AO} ) будет равен половине диагонали ( \mathbf{AC} ), то есть ( \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) ).
в) Вектор ( \mathbf{BD} ) в параллелограмме равен вектору ( \mathbf{a} ), так как ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) (противоположные стороны) равны и параллельны.
г) Вектор ( \mathbf{AM} ) равен половине вектора ( \mathbf{AB} ), так как М - середина ВС, и ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{BC} ) параллельны. Поэтому ( \mathbf{AM} = \frac{1}{2} \mathbf{b} ).
а) Вектор суммы a и b равен a + b. б) Вектор разности a и b равен a - b. в) Вектор, умноженный на 2, равен 2a - b.
а) Вектор AC = AB + BC = a + b. б) Вектор AO = 1/2(AC + AD) = 1/2(a + b + b) = 1/2(2a + 2b) = a + b. в) Вектор BD = BC + CD = b. г) Вектор AM = 1/2(AC) = 1/2(a + b).
а) Вектор а+b получается сложением соответствующих координат векторов а и b. б) Вектор а-b получается вычитанием соответствующих координат векторов а и b. в) Вектор 2a-b получается умножением вектора а на 2 и вычитанием вектора b.
а) Вектор AC = AB + BC = a + b. б) Вектор AO = 1/2(AB + AD) = 1/2(a + b). в) Вектор BD = -BA - AD = -a - b. г) Вектор AM = 1/2(AB + AC) = 1/2(a + a + b) = 1/2(2a + b) = a + 1/2b.
