1) Диагональ сечения цилиндра, параллельно оси, равна 6 см и образует с плоскостью нижнего основания угол в 45 градусов. Это сечение отсекает в основании дугу в 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2) Высота конуса равна 6 см , радиус основания равен 2 корень из 3 дм. Найдите площадь сечения , проведенного через две образующие конуса, если угол между ними равен 60 градусов.
1) Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра воспользуемся формулой: Sб = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра. Так как диагональ сечения параллельна оси и образует угол в 45 градусов с плоскостью нижнего основания, то получаем, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю, радиусом и высотой, имеет угол в 45 градусов. Поэтому, мы можем найти радиус цилиндра по теореме Пифагора: r^2 + h^2 = (2r)^2 => h^2 = 3r^2 => h = r√3. Также, длина дуги в основании цилиндра, отсекаемой сечением, равна 60 градусам, что составляет 1/6 от окружности, следовательно, длина дуги равна 2πr/6 = πr/3. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра будет равна: Sб = 2πrh = 2πr(r√3) = 2πr^2√3 = π(πr/3)√3 = π^2/3√3.
2) Для нахождения площади сечения, проведенного через две образующие конуса, воспользуемся формулой: Sс = πrl, где r - радиус основания конуса, l - длина сечения. Угол между образующими конуса равен 60 градусов, следовательно, длина сечения будет равна половине окружности с радиусом r, отсюда l = πr. Так как у нас два конуса, то общая площадь сечения будет равна: Sс = 2πrl = 2πr*πr = 2π^2r.
Давайте разберем задачи по порядку.
Имеем цилиндр, диагональ сечения которого параллельна оси и равна 6 см. Она образует угол 45 градусов с плоскостью нижнего основания. Это сечение отсекает в основании дугу в 60 градусов.
Диагональ сечения: Поскольку диагональ сечения параллельна оси и образует угол 45 градусов с нижним основанием, то высота сечения ( h ) равна проекции диагонали на ось цилиндра. Это можно найти через тригонометрические функции: [ h = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} ]
Радиус основания: Из условия, что дуга в основании равна 60 градусов (то есть, она составляет (\frac{1}{6}) окружности), можно определить радиус ( R ) через длину окружности, которую пересекает сечение. Поскольку угол диагонали сечения равен 45 градусов, то длина основания диагонали по окружности равна: [ l = R \cdot \frac{\pi}{3} ] Где ( l = R \cdot \frac{\pi}{3} = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ).
Боковая поверхность: Площадь боковой поверхности цилиндра равна: [ S{\text{бок}} = 2\pi R h ] Подставляем найденные значения ( R ) и ( h ): [ S{\text{бок}} = 2\pi \cdot R \cdot 3\sqrt{2} ]
В этой задаче ( R ) не вычисляется напрямую, так как мы не имеем достаточно информации для его определения. Возможно, в условии задачи недостаёт информации для точного вычисления.
Высота конуса равна 6 см, радиус основания равен ( 2\sqrt{3} ) дм. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, если угол между ними равен 60 градусов.
Параметры конуса: Высота ( h = 6 ) см, радиус основания ( R = 2\sqrt{3} \times 10 = 20\sqrt{3} ) см (перевели в сантиметры).
Сечение через две образующие: Сечение, проведенное через две образующие, будет равнобедренным треугольником, где основание — хорда окружности основания, а боковые стороны — образующие конуса.
Длина образующей: Длину образующей ( l ) можно найти по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{6^2 + (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 1200} = \sqrt{1236} ]
Сечение: Площадь треугольника, образуемого двумя образующими и хордой основания, можно найти, зная угол между образующими (( 60^\circ )):
Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2 ] Подставляем значение ( l ): [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1236 ]
Вычисляем значение и получаем площадь сечения.
Таким образом, вторая задача решается через геометрические отношения в сечении конуса.
