1. Начертите изображение тетраэдра ABCD, выберите произволь­но точки М € АВ, N € AD. Постройте линии...

Задача 1: Построение линий пересечения плоскостей в тетраэдре

Шаг 1: Построение тетраэдра и отметка точек

Нарисуйте тетраэдр ABCD. Далее отметьте произвольные точки M на ребре AB и N на ребре AD.

Шаг 2: Построение линии пересечения плоскостей (ABD) и (CMN)

1. Постройте плоскость (ABD). Она содержит точки A, B и D.
2. Постройте плоскость (CMN). Она содержит точки C, M и N.
3. Найдите точку пересечения плоскостей (ABD) и (CMN). Для этого нужно провести линии, которые пересекают обе плоскости. Например, линия CM пересекает плоскость (ABD) в какой-то точке P, а линия CN пересекает плоскость (ABD) в точке Q. Линии CM и CN лежат в плоскости (CMN).
4. Поскольку точки M и N принадлежат плоскости (ABD), то линии CM и CN пересекают плоскость (ABD) в точках M и N соответственно.
5. Линия PQ является линией пересечения плоскостей (ABD) и (CMN).

Шаг 3: Построение линии пересечения плоскостей (CMN) и (ABC)

1. Постройте плоскость (ABC), содержащую точки A, B и C.
2. Найдите точку пересечения плоскостей (CMN) и (ABC). Линии CM и CN пересекают плоскость (ABC) в точках R и S соответственно.
3. Линия RS является линией пересечения плоскостей (CMN) и (ABC).

Шаг 4: Построение линии пересечения плоскостей (CMN) и (ADC)

1. Постройте плоскость (ADC), содержащую точки A, D и C.
2. Найдите точку пересечения плоскостей (CMN) и (ADC). Линии CM и CN пересекают плоскость (ADC) в точках T и U соответственно.
3. Линия TU является линией пересечения плоскостей (CMN) и (ADC).

Задача 2: Построение линий пересечения плоскостей в кубе

Шаг 1: Построение куба и отметка точек

Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. Отметьте произвольные точки M и N на грани ABCD.

Шаг 2: Построение линии пересечения плоскостей (ABC) и (A1.MN)

1. Постройте плоскость (ABC), содержащую точки A, B и C.
2. Постройте плоскость (A1MN). Она содержит точки A1, M и N.
3. Найдите точку пересечения плоскостей. Линии A1M и A1N пересекают плоскость (ABC) в точках P и Q соответственно.
4. Линия PQ является линией пересечения плоскостей (ABC) и (A1MN).

Шаг 3: Построение линии пересечения плоскостей (B1MN) и (BCC1)

1. Постройте плоскость (BCC1), содержащую точки B, C и C1.
2. Постройте плоскость (B1MN), содержащую точки B1, M и N.
3. Найдите точку пересечения плоскостей. Линии B1M и B1N пересекают плоскость (BCC1) в точках R и S соответственно.
4. Линия RS является линией пересечения плоскостей (B1MN) и (BCC1).

Шаг 4: Построение линии пересечения плоскостей (C1MN) и (CC1D)

1. Постройте плоскость (CC1D), содержащую точки C, C1 и D.
2. Постройте плоскость (C1MN), содержащую точки C1, M и N.
3. Найдите точку пересечения плоскостей. Линии C1M и C1N пересекают плоскость (CC1D) в точках T и U соответственно.
4. Линия TU является линией пересечения плоскостей (C1MN) и (CC1D).

Задача 3: Построение сечения параллелепипеда плоскостью

Шаг 1: Построение параллелепипеда и отметка точек

Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Отметьте точки M на ребре A1B1, N на ребре AA1 и K на ребре BC.

Шаг 2: Построение сечения параллелепипеда плоскостью (MNK)

1. Постройте плоскость (MNK), содержащую точки M, N и K.
2. Определите точки пересечения плоскости (MNK) с ребрами параллелепипеда.
   • Найдите точки пересечения плоскости (MNK) с ребрами AA1, BB1, CC1, DD1, AB, AD, BC и CD.
3. Соедините полученные точки пересечения, чтобы построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNK).

Визуализация этих построений требует точности и аккуратности. Для лучшего понимания рекомендуется использовать чертежные инструменты или программное обеспечение для 3D-моделирования.

1. Линии пересечения плоскостей (ABD) и (CMN) - MN, (CMN) и (ABC) - CN, (CMN) и (ADC) - MC.

2. Линии пересечения плоскостей (ABC) и (A1MN) - MN, (B1MN) и (BCC1) - BC, (C1MN) и (CC1D) - CD.

3. Сечение параллелепипеда плоскостью (MNK) будет прямоугольником MNK.

Для построения сечения параллелепипеда плоскостью (MNK) сначала начертим изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Затем выберем точки M на ребре AA1 и N на ребре AB. Проведем линию MN и найдем их пересечение с плоскостями параллелепипеда: точку K.

Таким образом, плоскость (MNK) будет проходить через точки M, N и K и будет являться сечением параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.