1.) Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся как 3/4, а его площадь равна...

Обозначим длины катетов как ( 3x ) и ( 4x ). Площадь треугольника можно выразить как:

[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \times 3x \times 4x = 6x^2 ]

По условию площади:

[ 6x^2 = 24 ]

Решим уравнение:

[ x^2 = 4 \implies x = 2 ]

Теперь подставим ( x ) обратно для нахождения катетов:

[ \text{катет}_1 = 3x = 3 \times 2 = 6 \, \text{см} ] [ \text{катет}_2 = 4x = 4 \times 2 = 8 \, \text{см} ]

Итак, длины катетов равны 6 см и 8 см.

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника через переменные. Пусть длины катетов равны ( a ) и ( b ). Согласно условию, они относятся как ( 3:4 ), что можно записать следующим образом:

[ \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \implies a = \frac{3}{4}b ]

Также известно, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 см². Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов по формуле:

[ S = \frac{1}{2}ab ]

Подставим значение площади:

[ \frac{1}{2}ab = 24 \implies ab = 48 ]

Теперь подставим выражение для ( a ) в уравнение для площади:

[ a \cdot b = 48 \implies \left(\frac{3}{4}b\right) \cdot b = 48 ]

Упрощаем это уравнение:

[ \frac{3}{4}b^2 = 48 ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 4:

[ 3b^2 = 192 ]

Теперь разделим обе стороны на 3:

[ b^2 = 64 ]

Теперь найдем ( b ):

[ b = \sqrt{64} = 8 ]

Теперь подставим найденное значение ( b ) в уравнение для ( a ):

[ a = \frac{3}{4}b = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 ]

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны:

[ a = 6 \text{ см}, \quad b = 8 \text{ см} ]

Итак, ответ на задачу: длины катетов составляют 6 см и 8 см.

Чтобы решить эту задачу, обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как (3x) и (4x), где (x) — коэффициент пропорциональности. Это делается на основании того, что катеты (a) и (b) относятся как (3:4).

Дано:

1. Отношение катетов: (a : b = 3 : 4), где (a = 3x) и (b = 4x).
2. Площадь треугольника равна (24 \, \text{см}^2).
3. Формула площади прямоугольного треугольника:
   [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]

Подставим известные данные в формулу площади:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) = 24 ]

Упростим выражение: [ \frac{1}{2} \cdot 12x^2 = 24 ]

Сократим: [ 6x^2 = 24 ]

Разделим обе части уравнения на 6: [ x^2 = 4 ]

Найдем (x), взяв квадратный корень: [ x = \sqrt{4} = 2 ]

Найдем длины катетов:

1. Первый катет (a = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см}),
2. Второй катет (b = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{см}).

Проверим площадь:

Подставим найденные значения катетов в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \, \text{см}^2. ]

Все верно.

Ответ:

Длины катетов прямоугольного треугольника равны: [ 6 \, \text{см} \, \text{и} \, 8 \, \text{см}. ]