1. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10см, 10см и 12 см. 2. В параллелограмме...

Решение:

1. Площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см

   Формула Герона для нахождения площади треугольника по его сторонам: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ] где ( p = \frac{a + b + c}{2} ) — полупериметр, ( a, b, c ) — стороны треугольника.

   Здесь ( a = b = 10 ) см, ( c = 12 ) см. Тогда: [ p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16 \text{ см} ] [ S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48 \text{ см}^2 ]

2. Площадь параллелограмма со сторонами 12 и 16 см и углом 150°

   Площадь параллелограмма находится по формуле: [ S = ab \sin \theta ] где ( a, b ) — стороны, ( \theta ) — угол между ними.

   Здесь ( a = 12 ) см, ( b = 16 ) см, ( \theta = 150° ), [ \sin 150° = \sin (180° - 30°) = \sin 30° = 0.5 ] [ S = 12 \cdot 16 \cdot 0.5 = 96 \text{ см}^2 ]

3. Площадь равнобедренной трапеции с боковой стороной 13 см, основаниями 10 см и 20 см

   Площадь трапеции находится по формуле: [ S = \frac{a + b}{2} \cdot h ] где ( a, b ) — основания, ( h ) — высота.

   Пусть ( h ) — высота трапеции, тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой и боковой стороной: [ 13^2 = h^2 + \left(\frac{20 - 10}{2}\right)^2 = h^2 + 25 ] [ h^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12 \text{ см} ] [ S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2 ]

4. Длина отрезка MN в треугольнике, где MN параллельна AC, делит BC и AB

   По теореме Фалеса, отношение, в котором делится одна из сторон, сохраняется для всех параллельных отрезков. Так как ( BN:NC = 15:5 = 3:1 ), то такое же отношение будет для отрезка ( MN ) и ( AC ).

   ( AC = 15 ) см, значит: [ MN = \frac{3}{4} \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 15 = 11.25 \text{ см} ]

Ответы:

1. 48 см²
2. 96 см²
3. 180 см²
4. 11.25 см

1. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: ( S = \frac{a^2\sqrt{4b^2-a^2}}{4} ), где a - основание, b - боковая сторона. Подставляем значения: ( S = \frac{10^2\sqrt{410^2-10^2}}{4} = \frac{100\sqrt{300}}{4} = \frac{10010\sqrt{3}}{4} = 250\sqrt{3} ) см².

2. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: (S = ab\sin{\theta}), где a и b - стороны параллелограмма, а theta - угол между ними. Подставляем значения: (S = 1216\sin{150°} = 1216\frac{\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3}) см².

3. Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: (S = \frac{a+b}{2}h), где a и b - основания, h - высота. Подставляем значения: (S = \frac{10+20}{2}13 = 1513 = 195) см².

4. Длина отрезка MN можно найти, зная что треугольники ВМN и ВСN подобны. Таким образом, можно составить пропорцию: (\frac{BN}{VM} = \frac{NC}{MN}) (\frac{15}{x} = \frac{5}{(15-x)}) (15(15-x) = 5x) (225 - 15x = 5x) (225 = 20x) (x = \frac{225}{20} = 11.25) см.