1) Площадь ромба 48, одна из его диагоналей в 6раз больше другой, найдите меньшую диагональ. 2) Площадь...

1) Пусть x - меньшая диагональ ромба. Тогда большая диагональ будет равна 6x. Площадь ромба вычисляется по формуле: S = (d1 d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. Из условия задачи получаем уравнение: x 6x = 48 * 2 => 6x^2 = 96 => x^2 = 16 => x = 4. Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 4.

2) Пусть x - меньший катет прямоугольного треугольника. Тогда другой катет будет равен (x + 3). Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: S = (a b) / 2, где a и b - катеты. Из условия задачи получаем уравнение: x (x + 3) / 2 = 95 => x^2 + 3x - 190 = 0. Решив квадратное уравнение, получаем: x = 10 или x = -19. Так как x не может быть отрицательным, то меньший катет равен 10.

3) Пусть h - высота трапеции. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле: S = ((a + b) h) / 2, где a и b - основания трапеции. Из условия задачи получаем уравнение: (13 + 3) h / 2 = 128 => 16h / 2 = 128 => 8h = 128 => h = 16. Таким образом, высота трапеции равна 16.

4) Пусть a - первое основание трапеции. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле: S = ((a + b) h) / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота. Из условия задачи получаем уравнение: (1 + b) 8 / 2 = 80 => (1 + b) * 4 = 80 => 4 + 4b = 80 => 4b = 76 => b = 19. Таким образом, второе основание трапеции равно 19.

Давайте решим каждую из задач по очереди:

1) Найти меньшую диагональ ромба:
Площадь ромба вычисляется по формуле ( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 ), где ( d_1 ) и ( d_2 ) — диагонали ромба. Дано, что ( S = 48 ) и одна диагональ в 6 раз больше другой, т.е. ( d_1 = 6d_2 ). Подставляя в формулу площади, получаем: [ 48 = \frac{1}{2} \times 6d_2 \times d_2 = 3d_2^2. ] Тогда [ d_2^2 = \frac{48}{3} = 16 \implies d_2 = \sqrt{16} = 4. ] Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 4.

2) Найти меньший катет прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника равна ( S = \frac{1}{2}ab ), где ( a ) и ( b ) — катеты. Дано, что ( S = 95 ) и один катет на 3 больше другого, т.е. ( a = b + 3 ). Подставляя в формулу площади, получаем: [ 95 = \frac{1}{2}(b + 3)b = \frac{1}{2}(b^2 + 3b). ] Умножаем обе стороны на 2: [ 190 = b^2 + 3b. ] Решаем квадратное уравнение: [ b^2 + 3b - 190 = 0. ] Используем формулу корней квадратного уравнения: [ b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \times 190}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{769}}{2}. ] Нас интересует положительное значение ( b ), так как длина не может быть отрицательной. Приближенно, ( \sqrt{769} \approx 27.74 ), тогда [ b \approx \frac{-3 + 27.74}{2} \approx 12.37. ] Таким образом, меньший катет примерно равен 12.37.

3) Найти высоту трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле ( S = \frac{1}{2}(a + b)h ), где ( a ) и ( b ) — основания, ( h ) — высота. Дано, что ( S = 128 ), ( a = 13 ), ( b = 3 ). Подставляя в формулу: [ 128 = \frac{1}{2}(13 + 3)h = 8h. ] Тогда [ h = \frac{128}{8} = 16. ] Высота трапеции равна 16.

4) Найти второе основание трапеции: Известно, что ( S = 80 ), ( a = 1 ), ( h = 8 ). Используем формулу площади трапеции: [ 80 = \frac{1}{2}(1 + b)8, ] Тогда [ 80 = 4(1 + b) \implies 1 + b = \frac{80}{4} = 20 \implies b = 19. ] Второе основание трапеции равно 19.