1) Постройте фигуры, гомотетичные данной фигуре: 1) окружности 2) отрезку 3) треугольнику 4) четырехугольнику...

Давайте разберем оба вопроса подробно.

1. Постройка фигур, гомотетичных данным фигурам

Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются так, что сохраняются соотношения их расстояний от выбранного центра преобразования. Если коэффициент гомотетии (k > 0), то фигура увеличивается или уменьшается относительно центра, но сохраняет свою форму. Если (k < 0), то происходит ещё и зеркальное отражение относительно центра.

1.1. Постройка гомотетичной окружности:

• Дана фигура: окружность радиуса (R) с центром (O).
• Выберите центр гомотетии, например, точку (C), которая может находиться внутри окружности, на её границе или вне её.
• Выберите коэффициент гомотетии (k). Например, (k = 2) (увеличение в 2 раза).
• Гомотетичная окружность будет иметь центр в той же точке (C_O'), что и оригинальная, но её радиус изменится на (R' = k \cdot R). Если (k = 2), то радиус новой окружности будет (2R). Постройте новую окружность с увеличенным или уменьшенным радиусом.

Если (k < 0), то окружность будет отражена относительно центра (C), и её радиус также изменится на (|k| \cdot R).

1.2. Постройка гомотетичного отрезка:

• Дана фигура: отрезок (AB).
• Выберите центр гомотетии (C), который может быть точкой внутри, вне или на одном из концов отрезка.
• Выберите коэффициент гомотетии (k). Например, (k = 3) (увеличение в 3 раза).
• Постройте гомотетичные образы точек (A) и (B), назовем их (A') и (B'). Для этого проводим лучи от центра гомотетии (C) через точки (A) и (B). На этих лучах отложите расстояния (CA' = k \cdot CA) и (CB' = k \cdot CB).
• Соедините точки (A') и (B'), чтобы получить гомотетичный отрезок.

Если (k < 0), то точки (A') и (B') будут лежать на продолжении лучей в противоположном направлении от (C).

1.3. Постройка гомотетичного треугольника:

• Дана фигура: треугольник (ABC).
• Выберите центр гомотетии (C) и коэффициент (k).
• Постройте гомотетичные образы вершин (A), (B) и (C). Для каждой вершины проводим луч из центра гомотетии (C) через эту вершину. Отложите на лучах расстояния (CA' = k \cdot CA), (CB' = k \cdot CB), (CC' = k \cdot CC).
• Соедините точки (A'), (B') и (C'), чтобы получить гомотетичный треугольник.

Если (k < 0), то треугольник будет отражен относительно центра.

1.4. Постройка гомотетичного четырехугольника:

• Дана фигура: четырехугольник (ABCD).
• Выберите центр гомотетии (C) и коэффициент (k).
• Постройте гомотетичные образы всех вершин: (A'), (B'), (C') и (D'). Для каждой вершины (A, B, C, D) проводим луч через центр гомотетии (C). На этих лучах отложите расстояния (CA' = k \cdot CA), (CB' = k \cdot CB), (CC' = k \cdot CC), и (CD' = k \cdot CD).
• Соедините точки (A'), (B'), (C') и (D'), чтобы получить гомотетичный четырехугольник.

Если (k < 0), фигура будет отражена относительно центра гомотетии.

2. Определение центра гомотетии

Точки (A) и (A_1) гомотетичны с коэффициентом (k = 2). Нужно найти центр гомотетии.

Шаги:

1. Пусть (A) и (A_1) — это две точки на плоскости. Обозначим их координаты как (A(x_1, y_1)) и (A_1(x_2, y_2)).

2. Центр гомотетии (C(x_c, y_c)) — это точка, лежащая на прямой, проходящей через точки (A) и (A_1), и удовлетворяющая соотношению гомотетии. Коэффициент (k = 2) означает, что расстояние от центра гомотетии (C) до точки (A_1) в 2 раза больше, чем расстояние от (C) до (A).

3. Для определения координат (C(x_c, y_c)) используем формулы, которые следуют из определения гомотетии: [ x_c = \frac{x_2 - k \cdot x_1}{1 - k} ] [ y_c = \frac{y_2 - k \cdot y_1}{1 - k} ]

4. Подставьте значения (x_1, y_1, x_2, y_2) и (k), чтобы найти (x_c) и (y_c).

Пример:

• Пусть (A(1, 2)) и (A_1(5, 6)), а (k = 2).
• Подставим в формулы: [ x_c = \frac{5 - 2 \cdot 1}{1 - 2} = \frac{5 - 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 ] [ y_c = \frac{6 - 2 \cdot 2}{1 - 2} = \frac{6 - 4}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 ]
• Центр гомотетии — точка (C(-3, -2)).

Таким образом, центр гомотетии определяется из координат точек и коэффициента подобия.

Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигуры, сохраняя ее форму и пропорции. Чтобы построить фигуры, гомотетичные данной фигуре, необходимо выбрать центр гомотетии и коэффициент подобия (коэффициент гомотетии).

1. Построение гомотетичных фигур

1) Окружность

• Исходная фигура: окружность с центром O и радиусом R.
• Центр гомотетии: выберем точку O' (например, O' находится на расстоянии d от O).
• Коэффициент гомотетии: пусть k = 2.
• Построение:
  1. Для каждой точки P на окружности проведите прямую, проходящую через O и P.
  2. На этой прямой отложите отрезок O'O = k OP. Новая точка P' будет находиться на расстоянии k R от центра O'.
  3. В результате получится окружность с центром O' и радиусом k * R.

2) Отрезок

• Исходная фигура: отрезок AB.
• Центр гомотетии: O'.
• Коэффициент гомотетии: k = 3.
• Построение:
  1. Для каждой точки A и B проведите прямую, проходящую через O' и соответствующую точку.
  2. Отложите отрезок O'A = k OA и O'B = k OB.
  3. Новые точки A' и B' будут находиться на расстоянии k раз больше от O', и отрезок A'B' будет гомотетичен отрезку AB с коэффициентом 3.

3) Треугольник

• Исходная фигура: треугольник ABC.
• Центр гомотетии: O'.
• Коэффициент гомотетии: k = 1.5.
• Построение:
  1. Для каждой вершины A, B и C проведите прямые через O' и соответствующие вершины.
  2. Отложите отрезок O'A = k OA, O'B = k OB, O'C = k * OC.
  3. Новые вершины A', B', C' образуют треугольник A'B'C', который будет гомотетичен треугольнику ABC с коэффициентом 1.5.

4) Четырехугольник

• Исходная фигура: четырехугольник ABCD.
• Центр гомотетии: O'.
• Коэффициент гомотетии: k = 0.5.
• Построение:
  1. Для каждой вершины A, B, C и D проведите прямые через O' и соответствующие вершины.
  2. Отложите отрезки O'A = k OA, O'B = k OB, O'C = k OC, O'D = k OD.
  3. Новые вершины A', B', C', D' образуют новый четырехугольник A'B'C'D', который будет гомотетичен четырехугольнику ABCD с коэффициентом 0.5.

2. Определение центра гомотетии

Если точки A и A1 гомотетичны с коэффициентом подобия k = 2, это означает, что расстояние от центра гомотетии до точки A в два раза меньше расстояния от центра гомотетии до точки A1.

• Формула: Пусть O — центр гомотетии. Тогда, по определению, выполняется следующее уравнение:

  [ A1 = O + k \cdot (A - O) ]

  Подставляем k = 2:

  [ A1 = O + 2 \cdot (A - O) ]

  Распишем уравнение:

  [ A1 = O + 2A - 2O ]

  [ A1 = 2A - O ]

  Отсюда:

  [ O = 2A - A1 ]

Таким образом, чтобы найти центр гомотетии O, нужно выполнить операцию: O = 2A - A1. Это уравнение позволяет найти координаты центра гомотетии, если известны координаты точек A и A1.