1. Точки К и М лежат соответственно на сторонах АВ и СD параллелограмма ABCD, AK=KB, СM:MD=2:5. Выразите...

1. Вектор KM можно выразить как разность векторов KA и AM. Так как AK=KB, то вектор KA равен вектору KB, то есть KA=KB. Также, так как CM:MD=2:5, то вектор CM можно представить как 2/7 вектора CD, а вектор MD как 5/7 вектора CD. Таким образом, вектор KM = KA + AM = 1/2 AB + 2/7 AD.

2. Вектор b = 1/3c - d = 1/3(-3; 6) - (2; -2) = (-1; 2) - (2; -2) = (-1-2; 2+2) = (-3; 4).

3. Пусть основания трапеции равны x и y. Тогда, с учетом того, что один из углов равен 120 градусов, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения оснований. По теореме косинусов, квадрат большей стороны равен сумме квадратов средней линии и разности квадратов оснований: 20^2 = 7^2 + (x-y)^2. Также, с учетом того, что средняя линия равна полусумме оснований, получаем уравнение 7 = (x + y)/2. Решая систему уравнений, находим x = 12 и y = 8.

Вопрос 1: Выразите вектор КМ через векторы p=AB и q=AD

Разложим вектор ( \vec{KM} ) через векторы ( \vec{p} ) и ( \vec{q} ).

Так как ( AK = KB ), точка ( K ) делит сторону ( AB ) пополам. Следовательно, ( \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{p} ) и ( \vec{KB} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{p} ).

Аналогично, ( \vec{CM} = \frac{2}{7}\vec{CD} ) и ( \vec{MD} = \frac{5}{7}\vec{CD} ). Поскольку ( \vec{CD} = -\vec{p} + \vec{q} ) (по правилу параллелограмма), то ( \vec{CM} = \frac{2}{7}(-\vec{p} + \vec{q}) ) и ( \vec{MD} = \frac{5}{7}(-\vec{p} + \vec{q}) ).

Теперь найдём ( \vec{KM} ): [ \vec{KM} = \vec{KB} + \vec{BM} ] [ \vec{BM} = \vec{BC} + \vec{CM} = \vec{p} + \frac{2}{7}(-\vec{p} + \vec{q}) ] [ \vec{BM} = \vec{p} - \frac{2}{7}\vec{p} + \frac{2}{7}\vec{q} = \frac{5}{7}\vec{p} + \frac{2}{7}\vec{q} ] [ \vec{KM} = \frac{1}{2}\vec{p} + \frac{5}{7}\vec{p} + \frac{2}{7}\vec{q} ] [ \vec{KM} = \left(\frac{1}{2} + \frac{5}{7}\right)\vec{p} + \frac{2}{7}\vec{q} ] [ \vec{KM} = \frac{17}{14}\vec{p} + \frac{2}{7}\vec{q} ]

Вопрос 2: Найдите координаты вектора b, если b=1/3c-d, вектор c {-3; 6}, вектор d {2;-2}

Вычислим: [ \vec{b} = \frac{1}{3}\vec{c} - \vec{d} ] [ \vec{b} = \frac{1}{3}(-3, 6) - (2, -2) ] [ \vec{b} = (-1, 2) - (2, -2) ] [ \vec{b} = (-1 - 2, 2 + 2) ] [ \vec{b} = (-3, 4) ]

Вопрос 3: Найдите основания трапеции

Дано: один из углов равен ( 120^\circ ), большая боковая сторона ( l = 20 ) см, средняя линия ( m = 7 ) см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е. [ m = \frac{a+b}{2} = 7 ] [ a + b = 14 ]

Используем свойства прямоугольной трапеции и тригонометрические отношения: [ b - a = 2l\cos(120^\circ) ] [ \cos(120^\circ) = -1/2 ] [ b - a = 2 \times 20 \times (-1/2) = -20 ] [ b - a = -20 ]

У нас есть система уравнений:

1. ( a + b = 14 )
2. ( b - a = -20 )

Решение: [ b = \frac{14 - 20}{2} = -3 ] – получается нефизический результат, поэтому возможно была допущена ошибка в условии или в рассуждениях. Необходимо перепроверить условие задачи и подход к решению.