1) Задача Даны векторы а{4;1;-2} и b{3;m;2}. Определить значение m, при которых угол между а и b является:...

1) а) Для определения острого угла между векторами а и b необходимо, чтобы скалярное произведение векторов было положительным: a b = 43 + 1m + (-2)2 = 12 + m - 4 > 0 Отсюда получаем, что m > -8.

б) Для определения прямого угла между векторами а и b необходимо, чтобы скалярное произведение векторов было равно нулю: a b = 43 + 1m + (-2)2 = 12 + m - 4 = 0 Отсюда получаем, что m = -8.

в) Для определения тупого угла между векторами а и b необходимо, чтобы скалярное произведение векторов было отрицательным: a b = 43 + 1m + (-2)2 = 12 + m - 4 < 0 Отсюда получаем, что m < -8.

2) а) Для определения острого угла между векторами a и b необходимо, чтобы угол между векторами a и b был острый, то есть косинус угла между векторами a и b был положительным. Это происходит, когда проекция вектора a+kb на вектор b больше нуля: (a+kb) b > 0 (-2+k1)1 + (3+k4)4 + (1+k(-3))*(-3) > 0 Отсюда можно найти значение k.

б) Для определения прямого угла между векторами a и b необходимо, чтобы косинус угла между векторами a и b был равен нулю. Это происходит, когда проекция вектора a+kb на вектор b равна нулю: (a+kb) b = 0 (-2+k1)1 + (3+k4)4 + (1+k(-3))*(-3) = 0 Отсюда можно найти значение k.

в) Для определения тупого угла между векторами a и b необходимо, чтобы косинус угла между векторами a и b был отрицательным. Это происходит, когда проекция вектора a+kb на вектор b меньше нуля: (a+kb) b < 0 (-2+k1)1 + (3+k4)4 + (1+k(-3))*(-3) < 0 Отсюда можно найти значение k.

3) Для определения тупого угла в треугольнике ABC, необходимо найти косинус угла С (угол между векторами AB и BC), который равен отношению скалярного произведения векторов AB и BC к их модулям умноженным друг на друга: cosС = (AB BC) / (|AB| |BC|) AB = B - A = (9-m; 2; 1) BC = C - B = (3; -4; -4) После нахождения косинуса угла С можно определить значения m, при которых угол С будет тупым.

Задача 1

Для определения угла между векторами a и b, можно использовать формулу скалярного произведения: [ a \cdot b = |a| |b| \cos(\theta) ]

где ( a = (4, 1, -2) ) и ( b = (3, m, 2) ), то есть: [ a \cdot b = 4 \times 3 + 1 \times m + (-2) \times 2 = 12 + m - 4 = 8 + m ]

Длины векторов: [ |a| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} ] [ |b| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{9 + m^2 + 4} = \sqrt{13 + m^2} ]

Тогда скалярное произведение в терминах угла: [ \cos(\theta) = \frac{8 + m}{\sqrt{21} \sqrt{13 + m^2}} ]

а) Угол острый, если ( \cos(\theta) > 0 ): [ 8 + m > 0 \Rightarrow m > -8 ]

б) Угол прямой, если ( \cos(\theta) = 0 ): [ 8 + m = 0 \Rightarrow m = -8 ]

в) Угол тупой, если ( \cos(\theta) < 0 ): [ 8 + m < 0 \Rightarrow m < -8 ]

Задача 2

Для вектора ( a + k \cdot b ), получаем: [ a + k \cdot b = (-2 + k, 3 + 4k, 1 - 3k) ]

Скалярное произведение ( (a + k \cdot b) \cdot b ): [ = (-2 + k) \cdot 1 + (3 + 4k) \cdot 4 + (1 - 3k) \cdot (-3) ] [ = -2 + k + 12 + 16k - 3 + 9k ] [ = 24k + 7 ]

Длины векторов: [ |b| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} ] [ |a + k \cdot b| = \sqrt{(-2+k)^2 + (3+4k)^2 + (1-3k)^2} ]

а) Угол острый, если ( \cos(\theta) > 0 ): [ 24k + 7 > 0 \Rightarrow k > -\frac{7}{24} ]

б) Угол прямой, если ( \cos(\theta) = 0 ): [ 24k + 7 = 0 \Rightarrow k = -\frac{7}{24} ]

в) Угол тупой, если ( \cos(\theta) < 0 ): [ 24k + 7 < 0 \Rightarrow k < -\frac{7}{24} ]

Задача 3

Векторы: [ \vec{AB} = (9 - m, 2, 1) ] [ \vec{AC} = (12 - m, -2, -3) ]

Скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ): [ = (9 - m) \cdot (12 - m) + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) ] [ = 108 - 21m + m^2 - 4 - 3 ] [ = m^2 - 21m + 101 ]

Условие тупого угла ( C ): [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} < 0 ] [ m^2 - 21m + 101 < 0 ]

Решая это квадратное неравенство, находим значения ( m ). Используя дискриминантный метод, находим корни уравнения и интервалы, где неравенство выполняется.