121 Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО=ΔDAO; б)...

Задача 121

Отрезки ( AB ) и ( CD ) пересекаются в середине ( O ) отрезка ( AB ), ( \angle OAD = \angle OBC ).

а) Докажите, что ( \Delta CBO = \Delta DAO )

1. Рассмотрим треугольники ( \Delta CBO ) и ( \Delta DAO ):

   Дано:

   • ( O ) — середина отрезка ( AB ), значит, ( AO = OB ).
   • ( \angle OAD = \angle OBC ) (по условию).

2. Покажем, что треугольники равны по первому признаку (двум углам и стороне между ними):

   • ( AO = OB ) (по условию, ( O ) — середина ( AB )).
   • ( \angle OAD = \angle OBC ) (по условию).
   • ( \angle AOD ) и ( \angle BOC ) — вертикальные углы, значит, ( \angle AOD = \angle BOC ).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (двум углам и стороне между ними) треугольники ( \Delta CBO ) и ( \Delta DAO ) равны.

б) Найдите ( BC ) и ( CO ), если ( CD = 26 ) см, ( AD = 15 ) см.

1. Используем равенство треугольников ( \Delta CBO ) и ( \Delta DAO ):

   • ( CO = DO ) (как соответствующие стороны равных треугольников).
   • ( AO = OB ) (по условию, ( O ) — середина ( AB )).

2. Найдем ( DO ):

   • ( AD = AO + DO ).
   • ( AO = \frac{AB}{2} ), так как ( O ) — середина ( AB ).

   Поскольку ( \Delta CBO = \Delta DAO ), ( CO = DO ).

3. Рассмотрим отрезок ( CD = 26 ) см:

   • ( CD = CO + DO = CO + CO = 2CO ).
   • ( 2CO = 26 ) см.
   • ( CO = 13 ) см.

4. Найдем ( BC ):

   • ( BC = BO + CO ).
   • ( BO = AO ) (так как ( \Delta CBO = \Delta DAO )).
   • ( AO = \frac{AD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 ) см.
   • ( BC = BO + CO = 7.5 + 13 = 20.5 ) см.

Итак, ( BC = 20.5 ) см и ( CO = 13 ) см.

Задача 122

На рисунке 53 (с. 31) ( \angle 1 = \angle 2 ), ( \angle 3 = \angle 4 ).

а) Докажите, что ( \Delta ABC = \Delta CDA )

1. Рассмотрим треугольники ( \Delta ABC ) и ( \Delta CDA ):

   Дано:

   • ( \angle 1 = \angle 2 ) (по условию).
   • ( \angle 3 = \angle 4 ) (по условию).

2. Покажем, что треугольники равны по второму признаку (двум углам и прилежащей стороне):

   • ( \angle 1 = \angle 2 ) (по условию).
   • ( \angle 3 = \angle 4 ) (по условию).
   • ( AC ) — общая сторона.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (двум углам и прилежащей стороне) треугольники ( \Delta ABC ) и ( \Delta CDA ) равны.

б) Найдите ( AB ) и ( BC ), если ( AD = 19 ) см, ( CD = 11 ) см.

1. Используем равенство треугольников ( \Delta ABC ) и ( \Delta CDA ):
   • ( AB = CD = 11 ) см (как соответствующие стороны равных треугольников).
   • ( BC = AD ) (как соответствующие стороны равных треугольников).

Итак:

• ( AB = 11 ) см.
• ( BC = 19 ) см.

a) Для доказательства того, что ΔCBO=ΔDAO, рассмотрим два треугольника: ΔCBO и ΔDAO. У нас уже известно, что ∠OAD = ∠OBC, также мы знаем, что О - середина отрезка АВ. Из этого следует, что BO=OC и AD=DO. Таким образом, у нас есть две равные стороны и равные углы между ними, что означает, что треугольники ΔCBO и ΔDAO равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны.

б) Так как CD=26 см, AD=15 см, то CO=OD=13 см (так как О - середина отрезка АВ). Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения ВС и СО: BC^2 = BO^2 + CO^2 BC^2 = 15^2 + 13^2 BC^2 = 225 + 169 BC^2 = 394 BC = √394 BC ≈ 19.85 см

Аналогично, можем найти СО: OC^2 = CD^2 - CO^2 OC^2 = 26^2 - 13^2 OC^2 = 676 - 169 OC^2 = 507 OC = √507 OC ≈ 22.54 см

Для задачи 122:

a) Доказательство равенства треугольников ΔАВС и ΔCDА аналогично предыдущему пункту и основывается на равенстве сторон и углов между ними.

б) Так как AD=19 см, CD=11 см, то у нас уже известно, что ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Также, зная, что ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, можем найти ∠1 и ∠3: ∠1 = ∠2 = (180° - ∠3) / 2 ∠1 = ∠2 = (180° - ∠4) / 2

Теперь можем использовать законы косинусов для нахождения сторон треугольника: AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2ADCDcos(∠3) AC^2 = 19^2 + 11^2 - 21911cos(∠3) AC^2 = 361 + 121 - 418*cos(∠3)

Точно так же можно найти ВС.

а) Докажем, что треугольники ΔCBO и ΔDAO равны по стороне ОВ, общей стороне ОС и общему углу ∠AOD = ∠COB. Так как ∠OAD = ∠OBC по условию, то треугольники ΔCBO и ΔDAO равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, ΔCBO = ΔDAO.

б) Из равенства треугольников ΔCBO и ΔDAO следует, что соответствующие стороны равны: CO = AD = 15 см и BO = CD = 26 см. Также, по свойству серединного перпендикуляра, ВО = СО. Значит, ВО = СО = (26 - 15) / 2 = 5.5 см.

а) Докажем, что треугольники ΔABC и ΔCDA равны по двум сторонам и углу между ними. У нас есть ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Таким образом, треугольники ΔABC и ΔCDA равны.

б) Из равенства треугольников ΔABC и ΔCDA следует, что соответствующие стороны равны: AB = CD = 11 см и BC = AD = 19 см.