1)ABCDA1B1C1D1 -куб с ребром 2.Вычислите скалярное произведение векторов CD*CA,AA1*BA,A1B*CD1,AB1*AC,DB1*DB....

1) CD = D - C = (2 - 0)i + (0 - 2)j + (2 - 0)k = 2i - 2j + 2k CA = A - C = (0 - 0)i + (2 - 0)j + (2 - 0)k = 0i + 2j + 2k CD CA = (2 0) + (-2 2) + (2 2) = 0 - 4 + 4 = 0

AA1 = A1 - A = (2 - 0)i + (2 - 2)j + (2 - 0)k = 2i + 0j + 2k BA = A - B = (0 - 2)i + (2 - 0)j + (2 - 0)k = -2i + 2j + 2k AA1 BA = (2 -2) + (0 2) + (2 2) = -4 + 0 + 4 = 0

A1B = B - A1 = (2 - 2)i + (2 - 2)j + (2 - 0)k = 0i + 0j + 2k CD1 = D1 - C = (2 - 0)i + (2 - 2)j + (0 - 0)k = 2i + 0j + 0k A1B CD1 = (0 2) + (0 0) + (2 0) = 0 + 0 + 0 = 0

AB1 = B1 - A = (2 - 0)i + (0 - 2)j + (2 - 0)k = 2i - 2j + 2k AC = C - A = (0 - 0)i + (0 - 2)j + (2 - 0)k = 0i - 2j + 2k AB1 AC = (2 0) + (-2 -2) + (2 2) = 0 + 4 + 4 = 8

DB1 = B1 - D = (2 - 0)i + (0 - 0)j + (0 - 2)k = 2i + 0j - 2k DB = B - D = (0 - 2)i + (0 - 0)j + (2 - 2)k = -2i + 0j + 0k DB1 DB = (2 -2) + (0 0) + (-2 0) = -4 + 0 + 0 = -4

2) Для того чтобы доказать, что векторы a и b перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю. a b = (6 2) + (8 -5) + (-7 -4) = 12 - 40 + 28 = 0 Таким образом, a и b перпендикулярны.

1) Рассмотрим куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с ребром длиной 2. Введем систему координат так, чтобы вершина ( A ) была в начале координат (0,0,0), вершина ( B ) в точке (2,0,0), вершина ( D ) в точке (0,2,0) и вершина ( A_1 ) в точке (0,0,2).

Теперь найдём координаты всех остальных вершин:

• ( C ) будет (2,2,0)
• ( B_1 ) будет (2,0,2)
• ( C_1 ) будет (2,2,2)
• ( D_1 ) будет (0,2,2)

Теперь вычислим скалярные произведения векторов:

a) ( \vec{CD} \cdot \vec{CA} )

Координаты векторов: [ \vec{CD} = (0,2,0) - (2,2,0) = (-2,0,0) ] [ \vec{CA} = (0,0,0) - (2,2,0) = (-2,-2,0) ]

Скалярное произведение: [ \vec{CD} \cdot \vec{CA} = (-2) \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 4 ]

б) ( \vec{AA_1} \cdot \vec{BA} )

Координаты векторов: [ \vec{AA_1} = (0,0,2) - (0,0,0) = (0,0,2) ] [ \vec{BA} = (0,0,0) - (2,0,0) = (-2,0,0) ]

Скалярное произведение: [ \vec{AA_1} \cdot \vec{BA} = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 ]

в) ( \vec{A_1B} \cdot \vec{CD_1} )

Координаты векторов: [ \vec{A_1B} = (2,0,0) - (0,0,2) = (2,0,-2) ] [ \vec{CD_1} = (0,2,2) - (2,2,0) = (-2,0,2) ]

Скалярное произведение: [ \vec{A_1B} \cdot \vec{CD_1} = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 = -4 - 4 = -8 ]

г) ( \vec{AB_1} \cdot \vec{AC} )

Координаты векторов: [ \vec{AB_1} = (2,0,2) - (0,0,0) = (2,0,2) ] [ \vec{AC} = (2,2,0) - (0,0,0) = (2,2,0) ]

Скалярное произведение: [ \vec{AB_1} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 4 ]

д) ( \vec{DB_1} \cdot \vec{DB} )

Координаты векторов: [ \vec{DB_1} = (2,0,2) - (0,2,0) = (2,-2,2) ] [ \vec{DB} = (2,0,0) - (0,2,0) = (2,-2,0) ]

Скалярное произведение: [ \vec{DB_1} \cdot \vec{DB} = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 4 + 4 + 0 = 8 ]

2) Докажем, что векторы ( \vec{a} = (6,8,-7) ) и ( \vec{b} = (2,-5,-4) ) ортогональны (перпендикулярны).

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 2 + 8 \cdot (-5) + (-7) \cdot (-4) ] [ = 12 - 40 + 28 ] [ = 0 ]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) действительно ортогональны.