1)Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD , равные радиусу этой окружности...

Давайте разберем оба вопроса по геометрии и попробуем решить их пошагово.

Вопрос 1

Дано:

• Точка ( A ) на окружности.
• Диаметр ( AC ).
• Хорды ( AB ) и ( AD ), равные радиусу окружности.

Решение:

1. Углы четырехугольника ( ABCD ):

   • Так как ( AC ) является диаметром, угол ( ABC ) и угол ( ADC ) будут вписанными углами, опирающимися на полуокружности. Таким образом, ( \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ ).

   • Поскольку ( AB = AD = R ) (радиус окружности), треугольники ( AOB ) и ( AOD ) равнобедренные. Углы при основании равны, поэтому ( \angle OAB = \angle OBA = \angle OAD = \angle ODA = 45^\circ ).

   • Следовательно, в четырехугольнике ( ABCD ) углы ( \angle BAD ) и ( \angle BCD ) будут равны ( 90^\circ ) (поскольку ( \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC ) и ( \angle DAC = 180^\circ - \angle ADC )).

2. Градусные меры дуг ( AB ), ( BC ), ( CD ), ( AD ):

   • Дуга ( AB ) и дуга ( AD ) равны по 90° (поскольку соответствующие центральные углы ( \angle AOB ) и ( \angle AOD ) равны 90°).

   • Поскольку ( AC ) — диаметр, дуги ( BC ) и ( CD ) также по 90°, так как они дополняют дуги ( AB ) и ( AD ) до 180°.

Вопрос 2

Дано:

• Основание равнобедренного треугольника ( AB = 18 ) см.
• Боковые стороны ( AC = BC = 15 ) см.

Решение:

1. Радиус описанной окружности ( R ):

   • Формула для радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника: [ R = \frac{abc}{4S} ] где ( a ), ( b ), ( c ) — стороны треугольника, ( S ) — его площадь.

   • Найдем площадь треугольника ( ABC ). Для этого используем теорему Герона: [ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18 + 15 + 15}{2} = 24 ] [ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24 \times 6 \times 9 \times 9} = \sqrt{11664} = 108 ]

   • Подставляем в формулу радиуса: [ R = \frac{18 \times 15 \times 15}{4 \times 108} = \frac{4050}{432} = 9.375 \text{ см} ]

2. Радиус вписанной окружности ( r ):

   • Формула радиуса вписанной окружности: [ r = \frac{S}{s} = \frac{108}{24} = 4.5 \text{ см} ]

Итак, радиус описанной окружности ( R ) равен 9.375 см, а радиус вписанной окружности ( r ) равен 4.5 см.

К сожалению, я не могу предоставить фотографии решения на бумаге, но я постарался максимально подробно объяснить процесс решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!

1) Дано: AB = AD = AC = r (радиус окружности)

Так как AB и AD равны радиусу окружности, то треугольник ABD является равнобедренным, а значит, угол ABD = угол ADB. Также угол в центре окружности в два раза больше угла на окружности, поэтому угол в центре ACB = 2угол ADB = 2угол ABD.

Так как угол в центре равен углу, заключенному на дуге, то угол ACB = угол AVB (угол на дуге AV) = угол ACD.

Итак, у нас имеется четырехугольник ABCD, в котором угол ABD = угол ADB, угол ACB = угол ACD, угол ABD + угол ADB + угол ACB + угол ACD = 360 градусов. Так как угол ABD = угол ADB и угол ACB = угол ACD, то углы четырехугольника равны: угол ABD = угол ADB = угол ACB = угол ACD = 90 градусов.

Дуги: угол ABD = угол ADB = 90 градусов (дуга AB), угол ACB = угол ACD = 90 градусов (дуга CD).

2) Дано: основание треугольника a = 18 см, боковая сторона b = 15 см.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c)), где p = (a+b+c)/2.

Для нахождения описанной окружности можно воспользоваться формулой: R = a/(2*sinA), где A - угол при основании равнобедренного треугольника.

После подстановки значений и выполнения всех вычислений, можно найти радиус вписанной и описанной окружностей треугольника.