1Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки...

1. Да, все четыре точки лежат в одной плоскости. Так как три точки лежат на одной прямой, то это означает, что они лежат в одной плоскости. Четвертая точка также будет лежать в этой плоскости.

2 а) Для доказательства того, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, можно воспользоваться свойством того, что если диагонали АС и ВD пересекаются, то все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости.

б) Площадь четырехугольника можно вычислить, разбив его на два треугольника и применив формулу для площади треугольника: S = 0.5 a b * sin(угол между сторонами). Площадь каждого треугольника будет равна 60 см², итого площадь четырехугольника равна 120 см².

1. Да, верно утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости. Это следует из того, что по условию три точки лежат на одной прямой, что значит, что они лежат в одной плоскости. А четвертая точка, не лежащая на этой прямой, также лежит в этой плоскости, так как любые три точки в пространстве лежат в одной плоскости.

2. а) Если диагонали четырехугольника пересекаются, то это означает, что он является выпуклым и все его вершины лежат в одной плоскости. Это свойство выпуклого четырехугольника.

б) Площадь четырехугольника можно найти, используя формулу площади четырехугольника через его диагонали: S = (1/2) |AC| |BD|. Подставив значения AC=10 см и BD=12 см, получим S = (1/2) 10 12 = 60 см².

1. Если даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой, то утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости, верно.

Обоснование: Рассмотрим четыре точки ( A, B, C ) и ( D ), где ( A, B ) и ( C ) лежат на одной прямой ( l ). Прямая ( l ) является одномерным подпространством трёхмерного пространства. Прямую ( l ) можно однозначно вписать в плоскость, так как любая прямая в трёхмерном пространстве принадлежит бесконечному множеству плоскостей.

Введём плоскость ( \alpha ), которая проходит через прямую ( l ). Теперь рассмотрим четвёртую точку ( D ). Если ( D ) лежит на одной из этих плоскостей, то все четыре точки ( A, B, C ) и ( D ) лежат в одной плоскости.

Так как три точки всегда определяют плоскость, то ( A, B ) и ( C ) однозначно определяют плоскость ( \alpha ). Поскольку ( D ) является четвёртой точкой, то она либо лежит в плоскости ( \alpha ), либо не лежит. Но по условию задачи, если ( D ) не лежит на плоскости ( \alpha ), то она не рассматривается, так как не соответствует исходному утверждению. Следовательно, все четыре точки ( A, B, C ) и ( D ) лежат в одной плоскости.

а) Докажите, что все вершины четырехугольника ( ABCD ) лежат в одной плоскости, если его диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольник ( ABCD ), у которого диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ).

1. Точки ( A, B ) и ( O ) лежат на одной плоскости, назовем её ( \alpha ).
2. Точки ( A, C ) и ( O ) также лежат в плоскости ( \alpha ), так как они принадлежат одной диагонали.
3. Точки ( B, D ) и ( O ) лежат в плоскости ( \alpha ) по той же причине.

Таким образом, все четыре точки ( A, B, C ) и ( D ) лежат в одной плоскости ( \alpha ), так как они все связаны через точку пересечения диагоналей ( O ).

б) Вычислите площадь четырехугольника, если ( AC ) перпендикулярен ( BD ), ( AC = 10 ) см, ( BD = 12 ) см.

Решение: Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то его площадь можно вычислить как половину произведения длин диагоналей.

Площадь ( S ) четырехугольника: [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD ]

Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} ]

[ S = \frac{1}{2} \times 120 \, \text{см}^2 ]

[ S = 60 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь четырехугольника составляет ( 60 \, \text{см}^2 ).