1Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки...

1. Да, все четыре точки лежат в одной плоскости. Так как три точки лежат на одной прямой, то это означает, что они лежат в одной плоскости. Четвертая точка также будет лежать в этой плоскости.

2 а) Для доказательства того, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, можно воспользоваться свойством того, что если диагонали АС и ВD пересекаются, то все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости.

б) Площадь четырехугольника можно вычислить, разбив его на два треугольника и применив формулу для площади треугольника: S = 0.5 a b * sin$уголмеждусторонами$. Площадь каждого треугольника будет равна 60 см², итого площадь четырехугольника равна 120 см².

1. Да, верно утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости. Это следует из того, что по условию три точки лежат на одной прямой, что значит, что они лежат в одной плоскости. А четвертая точка, не лежащая на этой прямой, также лежит в этой плоскости, так как любые три точки в пространстве лежат в одной плоскости.

2. а) Если диагонали четырехугольника пересекаются, то это означает, что он является выпуклым и все его вершины лежат в одной плоскости. Это свойство выпуклого четырехугольника.

б) Площадь четырехугольника можно найти, используя формулу площади четырехугольника через его диагонали: S = $1/2$ |AC| |BD|. Подставив значения AC=10 см и BD=12 см, получим S = $1/2$ 10 12 = 60 см².

1. Если даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой, то утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости, верно.

Обоснование: Рассмотрим четыре точки $A,B,C$ и $D$, где $A,B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$. Прямая $l$ является одномерным подпространством трёхмерного пространства. Прямую $l$ можно однозначно вписать в плоскость, так как любая прямая в трёхмерном пространстве принадлежит бесконечному множеству плоскостей.

Введём плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $l$. Теперь рассмотрим четвёртую точку $D$. Если $D$ лежит на одной из этих плоскостей, то все четыре точки $A,B,C$ и $D$ лежат в одной плоскости.

Так как три точки всегда определяют плоскость, то $A,B$ и $C$ однозначно определяют плоскость $\alpha$. Поскольку $D$ является четвёртой точкой, то она либо лежит в плоскости $\alpha$, либо не лежит. Но по условию задачи, если $D$ не лежит на плоскости $\alpha$, то она не рассматривается, так как не соответствует исходному утверждению. Следовательно, все четыре точки $A,B,C$ и $D$ лежат в одной плоскости.

а) Докажите, что все вершины четырехугольника $ABCD$ лежат в одной плоскости, если его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1. Точки $A,B$ и $O$ лежат на одной плоскости, назовем её $\alpha$.
2. Точки $A,C$ и $O$ также лежат в плоскости $\alpha$, так как они принадлежат одной диагонали.
3. Точки $B,D$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$ по той же причине.

Таким образом, все четыре точки $A,B,C$ и $D$ лежат в одной плоскости $\alpha$, так как они все связаны через точку пересечения диагоналей $O$.

б) Вычислите площадь четырехугольника, если $AC$ перпендикулярен $BD$, $AC=10$ см, $BD=12$ см.

Решение: Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то его площадь можно вычислить как половину произведения длин диагоналей.

Площадь $S$ четырехугольника: $S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

Подставим значения: $S=\frac{1}{2}\times 10\text{см}\times 12\text{см}$

$S=\frac{1}{2}\times 120{\text{см}}^2$

$S=60{\text{см}}^2$

Таким образом, площадь четырехугольника составляет $60{\text{см}}^2$.