1)Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:А(-6;-4;0),В(6;-6;2),С(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD. 2)Даны координаты вершин тетраэдра MABC: М(2;5;7), А(1;-3;2),В(2;3;7), C(3;6;0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника АВС.
1) Для нахождения координат точки D в параллелограмме ABCD можно воспользоваться свойствами параллелограмма. Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то вектор AD равен вектору BC. Таким образом, координаты точки D можно найти как сумму координат точки C и разности координат точек A и B:
D(x, y, z) = C(xC, yC, zC) + (A(xA, yA, zA) - B(xB, yB, zB))
D(x, y, z) = (10, 0, 4) + (-6, -4, 0) - (6, -6, 2) D(x, y, z) = (10, 0, 4) + (-12, 2, -2) D(x, y, z) = (-2, 2, 2)
Таким образом, координаты точки D равны (-2, 2, 2).
Для нахождения угла между векторами AC и BD можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (AC BD) / (|AC| |BD|)
где AC и BD - векторы, * - скалярное произведение, |AC| и |BD| - длины векторов.
AC = C - A = (10, 0, 4) - (-6, -4, 0) = (16, 4, 4) BD = D - B = (-2, 2, 2) - (6, -6, 2) = (-8, 8, 0)
|AC| = √(16^2 + 4^2 + 4^2) = √(256 + 16 + 16) = √288 |BD| = √((-8)^2 + 8^2 + 0^2) = √(64 + 64) = √128
AC BD = 16 (-8) + 4 8 + 4 0 = -128 + 32 = -96
cos(θ) = -96 / (√288 * √128) = -96 / (16√18) = -6 / √18 = -2√2/3
Угол между векторами AC и BD равен arccos(-2√2/3) ≈ 132.7 градусов.
2) Для нахождения расстояния от точки M до точки O пересечения медиан треугольника ABC можно воспользоваться формулой для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника:
O(x, y, z) = (A(xA, yA, zA) + B(xB, yB, zB) + C(xC, yC, zC)) / 3
O(x, y, z) = ((1 + 2 + 3) / 3, (-3 + 3 + 6) / 3, (2 + 7 + 0) / 3) = (2, 2, 3)
Таким образом, координаты точки O равны (2, 2, 3).
Расстояние от точки M до точки O можно найти как расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве:
d(M, O) = √((xM - xO)^2 + (yM - yO)^2 + (zM - zO)^2) d(M, O) = √((2 - 2)^2 + (5 - 2)^2 + (7 - 3)^2) = √(0 + 9 + 16) = √25 = 5
Таким образом, расстояние от точки M до точки O пересечения медиан треугольника ABC равно 5.
1) Нахождение координат точки D и угла между векторами AC и BD в параллелограмме ABCD:
Поскольку ABCD — параллелограмм, векторы AB и CD равны, а также векторы BC и AD равны. Воспользуемся этими свойствами.
Координаты точки D: Вектор AB = B - A = (6 - (-6), -6 - (-4), 2 - 0) = (12, -2, 2). Так как AB = CD, вектор CD также равен (12, -2, 2). Таким образом, D = C + CD = (10, 0, 4) + (12, -2, 2) = (22, -2, 6).
Векторы AC и BD: AC = C - A = (10 - (-6), 0 - (-4), 4 - 0) = (16, 4, 4). BD = D - B = (22 - 6, -2 + 6, 6 - 2) = (16, 4, 4).
Угол между векторами AC и BD: Так как векторы AC и BD равны, угол между ними равен 0 градусов.
2) Расстояние от точки M до точки O (центр масс треугольника ABC) в тетраэдре MABC:
Точка O — это центр масс треугольника ABC, и она находится в точке, где каждая медиана делит другую в отношении 2:1, считая от вершины.
Координаты точки O находятся по формуле: O = (A + B + C) / 3 = ((1 + 2 + 3) / 3, (-3 + 3 + 6) / 3, (2 + 7 + 0) / 3) = (6/3, 6/3, 9/3) = (2, 2, 3).
Расстояние от M до O: Используем формулу Евклидова расстояния: [ d(M, O) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] [ d(M, O) = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} ] [ d(M, O) = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]
Итак, расстояние от точки M до точки O равно 5 единиц.
1) Координаты точки D: D(-2;2;2). Угол между векторами AC и BD: 90 градусов. 2) Расстояние от точки M до точки О: 4.5.
