1)Найдите отношение объёма шара к объёму вписанного к нему куба. 2)Найдите отношение объёма шара к объёму описанного около него октаэдра 3)В шаре проведена плоскость,перпендикулярная диаметру и делящая его на части равные 3 см и 4 см.Найдите объёмы частей шара. 4)Радиус шарового сектора R, угол в осевом сечении 120 градусов.Найдите объём шарового сектора. Если можно объясните все задания поподробнее.
1) Пусть радиус шара равен r. Объем шара выражается формулой V = (4/3)πr^3. Объем вписанного в шар куба равен (2r)^3 = 8r^3. Отношение объема шара к объему вписанного куба будет равно V/(8r^3) = (4/3)πr^3 / 8r^3 = π/6.
2) Пусть радиус шара равен r. Объем шара выражается формулой V = (4/3)πr^3. Объем описанного около шара октаэдра равен 2r 2r 2r = 8r^3. Отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра будет равно V / 8r^3 = (4/3)πr^3 / 8r^3 = π/6.
3) По условию, плоскость делит шар на две части, объем которых равен 3 см^3 и 4 см^3. Обозначим объемы частей шара V1 и V2. Так как объем шара равен V = (4/3)πr^3, то V = V1 + V2. Подставляем объемы частей и получаем уравнение: (4/3)πr^3 = 3 + 4 = 7. Отсюда находим радиус r и объемы частей шара.
4) Объем шарового сектора можно найти, используя формулу для объема конуса: V = (1/3)πR^2h, где R - радиус основания конуса, h - высота конуса. В данном случае R = r, где r - радиус шара. Так как угол в осевом сечении 120 градусов, то высота конуса будет равна h = 2r. Подставляем значения и находим объем шарового сектора.
Конечно, давайте рассмотрим каждую из задач подробно.
Для шара с радиусом ( R ), объём определяется формулой: [ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3 ]
Вписанный куб имеет сторону ( a ), равную диаметру шара, делённому на (\sqrt{3}) (так как диагональ куба равна диаметру шара): [ a = \frac{2R}{\sqrt{3}} ]
Объём куба: [ V_{\text{куб}} = a^3 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} ]
Отношение объёма шара к объёму куба: [ \frac{V{\text{шар}}}{V{\text{куб}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{4\pi}{8/\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{2} ]
Октаэдр, описанный около шара, имеет радиус описанной сферы равный расстоянию от центра октаэдра до его вершины, которое равно радиусу шара. Если ( R ) — радиус шара, то октаэдр можно представить как два пирамидальных основания, которые вместе образуют правильный октаэдр.
Для правильного октаэдра с длиной ребра ( a ), отношение радиуса описанной сферы к ребру октаэдра определяется как: [ R = \frac{\sqrt{2}}{2}a ]
Отсюда: [ a = \sqrt{2}R ]
Объём октаэдра: [ V_{\text{октаэдр}} = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} (\sqrt{2}R)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3} R^3 ]
Отношение объёма шара к объёму октаэдра: [ \frac{V{\text{шар}}}{V{\text{октаэдр}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{2\sqrt{2}}{3} R^3} = \frac{2\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} ]
Пусть радиус шара ( R ), плоскость делит шар на две части с высотами 3 см и 4 см. Очевидно, ( 3 + 4 = 7 ) см — это диаметр шара, следовательно, ( R = 3.5 ) см. Используем формулу для объёма сферического сегмента: [ V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h) ]
Для сегмента с высотой 3 см: [ V_1 = \frac{\pi \cdot 3^2}{3} (3 \cdot 3.5 - 3) = \pi \cdot 3 \cdot (10.5 - 3) = 21\pi ]
Для сегмента с высотой 4 см: [ V_2 = \frac{\pi \cdot 4^2}{3} (3 \cdot 3.5 - 4) = \frac{16\pi}{3} \cdot (10.5 - 4) = \frac{104\pi}{3} ]
Объём шарового сектора определяется как часть объёма полного шара, пропорциональная углу в осевом сечении. Объём полного шара: [ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3 ]
Угол в осевом сечении составляет ( 120^\circ ), что равно (\frac{120}{360} = \frac{1}{3}) полного угла. Следовательно, объём шарового сектора: [ V_{\text{сектор}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4\pi R^3}{9} ]
Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачами по геометрии! Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
1) Отношение объёма шара к объёму вписанного к нему куба равно 3:π.
2) Отношение объёма шара к объёму описанного около него октаэдра равно π:2.
3) Объём шара равен V = (4/3)πr^3, где r - радиус шара. Поскольку плоскость делит шар на части равные 3 см и 4 см, то объёмы этих частей будут равны 4/7 и 3/7 объема шара соответственно.
4) Объём шарового сектора можно найти по формуле V = (2/3)πR^3, где R - радиус шара и 120 градусов соответствует 1/3 полного угла в шаре.
