1.Плоскость альфа проходит через катет АС прямоугольного треугольника АВС (угол С=90 градусов). Отрезок...

Для решения задачи рассмотрим каждую из её частей по отдельности.

А) Доказательство перпендикулярности прямой АС и плоскости ВОС

1. Дано: Плоскость (\alpha) проходит через катет (АС) треугольника (ABC) с прямым углом при (C). Отрезок (BO) перпендикулярен плоскости (\alpha).
2. Требуется доказать: (АС \perp \text{плоскости } BOC).

Доказательство:

• Поскольку (BO \perp \alpha), (BO) перпендикулярен любой прямой в плоскости (\alpha) через точку (O).
• Точка (C) принадлежит плоскости (\alpha), следовательно, прямая (CO) также лежит в плоскости (\alpha).
• Поскольку (BO \perp \alpha), это также значит, что (BO \perp CO).
• Таким образом, в плоскости (BOC) имеем: (BO \perp CO).
• Поскольку (C) — общая точка плоскостей (BOC) и (\alpha), то прямая (AC) перпендикулярна плоскости (BOC) по признаку перпендикулярности прямой к плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости).

Б) Доказательство перпендикулярности плоскостей ВАО и альфа

1. Дано: (BO \perp \alpha).
2. Требуется доказать: плоскость (VAO) перпендикулярна плоскости (\alpha).

Доказательство:

• Плоскость (VAO) проходит через прямую (BO), которая перпендикулярна плоскости (\alpha).
• Если прямая перпендикулярна плоскости, то любая плоскость, проходящая через эту прямую, также перпендикулярна данной плоскости.
• Следовательно, плоскость (VAO) перпендикулярна плоскости (\alpha).

В) Нахождение периметра треугольника ABC

1. Дано: (BO = 3 \text{ см}), (CA = 12 \text{ см}), (CO = 4 \text{ см}).
2. Требуется найти: Периметр треугольника (ABC).

Решение:

• Найдём длину гипотенузы (AB) в треугольнике (ABC) с помощью теоремы Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}. ]
• Сначала найдём (BC) в треугольнике (BCO) по теореме Пифагора: [ BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. ]
• Теперь найдём (AB): [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. ]
• Периметр треугольника (ABC) равен сумме длин его сторон: [ P = AC + BC + AB = 12 + 5 + 13 = 30 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр треугольника (ABC) равен 30 см.

А) Для доказательства перпендикулярности прямой АС и плоскости ВОС можно воспользоваться теоремой о перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как отрезок ВО перпендикулярен плоскости альфа, то и прямая АС, проходящая через катет АС, также будет перпендикулярна к этой плоскости.

б) Для доказательства перпендикулярности плоскостей ВАО и альфа можно воспользоваться свойством перпендикулярных плоскостей: перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым углом. Так как отрезок ВО перпендикулярен плоскости альфа, а отрезок ВА лежит в плоскости ВАО, то плоскость ВАО будет перпендикулярна плоскости альфа.

в) Для нахождения периметра треугольника АВС можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как треугольник АВС прямоугольный. Сначала найдем гипотенузу треугольника, используя теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2. Подставляем известные значения: AC^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153, значит AC = √153 см. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: AB + BC + AC = 3 + 12 + √153 ≈ 16.6 см.

а) Поскольку отрезок ВО перпендикулярен плоскости альфа, то прямая ВО перпендикулярна к плоскости альфа. Также прямая ВО лежит в плоскости ВОС. Таким образом, прямая АС, проходящая через катет прямоугольного треугольника, перпендикулярна к плоскости ВОС.

б) Так как отрезок ВО перпендикулярен плоскости альфа, а также прямая АС перпендикулярна к плоскости ВОС, то плоскости ВАО и альфа перпендикулярны друг другу.

в) Периметр треугольника АВС можно найти по формуле: П = AB + BC + AC. Из условия задачи известно, что ВО=3см, СА=12см, СО=4см. По теореме Пифагора находим длину гипотенузы: AB = √(AC^2 + BC^2) = √(12^2 + 3^2) = √(144 + 9) = √153. Теперь можем найти периметр: П = 3 + 12 + √153 = 15 + √153 см.