1)Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C(2;2); D(6;5); E(5;-2)а) докажите что треугольник...

1) a) Для доказательства того, что треугольник CDE равнобедренный, нужно проверить, что две стороны равны. Для этого вычислим длины сторон: CD, CE и DE. Если две из них окажутся равными, то треугольник будет равнобедренным.

b) Для нахождения биссектрисы проведенной из вершины C нужно найти точку пересечения двух углов, образованных этой биссектрисой. Для этого можно использовать формулу расстояния между двумя точками.

2) Чтобы найти координаты точки А, равноудаленной от точек В и С, можно взять среднее арифметическое их координат по оси ординат. Таким образом, координаты точки А будут (1.5;0).

Часть 1:

а) Доказательство того, что треугольник CDE равнобедренный

Для начала найдем длины сторон треугольника CDE, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

[ \text{Длина } CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 ]

[ \text{Длина } CE = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} = \sqrt{(5-2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 ]

[ \text{Длина } DE = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = \sqrt{(5-6)^2 + (-2-5)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.07 ]

Заметим, что ( CD = CE ), следовательно, треугольник CDE равнобедренный.

б) Нахождение уравнения биссектрисы, проведенной из вершины C

Биссектриса из точки C будет делить угол C пополам. Точка на биссектрисе равноудалена от сторон CD и CE. Для упрощения, можно найти середину отрезка DE и соединить её с вершиной C, так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Середина отрезка DE (точка F): [ F\left(\frac{6+5}{2}, \frac{5 + (-2)}{2}\right) = F\left(\frac{11}{2}, \frac{3}{2}\right) = F(5.5, 1.5) ]

Уравнение прямой через две точки ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ): [ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ]

Подставляя точки C и F: [ \frac{y - 2}{x - 2} = \frac{1.5 - 2}{5.5 - 2} = \frac{-0.5}{3.5} = -\frac{1}{7} ]

[ y - 2 = -\frac{1}{7}(x - 2) ]

[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{2}{7} + 2 ]

[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{16}{7} ]

Часть 2:

Найдем координаты точки A на оси ординат (т.е. x = 0), которая равноудалена от точек B и C.

Используем формулу равенства расстояний от точки A(0, y) до точек B(1, -3) и C(2, 0): [ \sqrt{(0-1)^2 + (y - (-3))^2} = \sqrt{(0-2)^2 + (y - 0)^2} ]

[ \sqrt{1 + (y+3)^2} = \sqrt{4 + y^2} ]

Возводим обе части в квадрат: [ 1 + (y+3)^2 = 4 + y^2 ]

[ 1 + y^2 + 6y + 9 = 4 + y^2 ]

[ 6y + 6 = 0 ]

[ y = -1 ]

Таким образом, координаты точки A: (0, -1).

1) а) Чтобы доказать, что треугольник CDE равнобедренный, нужно проверить равенство длин двух его сторон. Для этого вычислим длины сторон треугольника CDE:

• С(2;2) и D(6;5): CD = √((6-2)^2 + (5-2)^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
• D(6;5) и E(5;-2): DE = √((5-6)^2 + (-2-5)^2) = √((-1)^2 + (-7)^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2
• E(5;-2) и C(2;2): EC = √((2-5)^2 + (2+2)^2) = √((-3)^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, CD = EC = 5, что означает, что треугольник CDE равнобедренный.

б) Биссектриса из вершины C делит угол C на два равных угла. Чтобы найти уравнение этой биссектрисы, нужно найти уравнение прямой, проходящей через вершину C и точку пересечения медианы треугольника с противоположной стороной. Посчитаем координаты точки пересечения медианы, которая делит сторону DE пополам:

• Найдем середину стороны DE: X((6+5)/2; (5-2)/2) = X(5.5; 1.5)
• Найдем уравнение прямой, проходящей через C(2;2) и X(5.5;1.5): y = kx + b k = (1.5 - 2) / (5.5 - 2) = -0.5 / 3.5 = -1/7 b = 2 - (-1/7)*2 = 16/7 Уравнение биссектрисы: y = (-1/7)x + 16/7

2) Пусть координаты точки А будут (0; y). Так как точка А равноудалена от точек B(1;-3) и C(2;0), то расстояние от А до B равно расстоянию от А до C. Воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками: √((1-0)^2 + (-3-y)^2) = √((2-0)^2 + (0-y)^2) √(1 + (y+3)^2) = √(4 + y^2) 1 + (y+3)^2 = 4 + y^2 y^2 + 6y + 9 = 4 + y^2 6y = -5 y = -5/6

Таким образом, координаты точки А равны (0; -5/6).