1)В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали 4√(21 )см, длины его измерений относятся как 1: 2 : 4. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
2)В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота равна 2 м. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания; площадь полной поверхности пирамиды.
Пусть длины сторон прямоугольного параллелепипеда равны ( a ), ( 2a ), и ( 4a ).
Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: [ d = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (4a)^2} ]
Подставим ( d = 4\sqrt{21} ): [ 4\sqrt{21} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 16a^2} ] [ 4\sqrt{21} = \sqrt{21a^2} ] [ 4\sqrt{21} = \sqrt{21} \cdot a \cdot 4 \rightarrow a = 4 ]
Теперь найдем длины сторон: [ a = 4 ] [ b = 2a = 2 \cdot 4 = 8 ] [ c = 4a = 4 \cdot 4 = 16 ]
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: [ S = 2(ab + bc + ac) ] [ S = 2(4 \cdot 8 + 8 \cdot 16 + 4 \cdot 16) ] [ S = 2(32 + 128 + 64) ] [ S = 2 \cdot 224 ] [ S = 448 \text{ см}^2 ]
Для нахождения угла наклона боковой грани к плоскости основания, нам нужно найти апофему (высоту боковой грани), которая является гипотенузой треугольника, образованного высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания.
Радиус вписанной окружности основания правильной четырёхугольной пирамиды равен половине стороны основания: [ r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ м} ]
Теперь найдем апофему ( l ): [ l = \sqrt{h^2 + r^2} ] [ l = \sqrt{2^2 + 2^2} ] [ l = \sqrt{4 + 4} ] [ l = \sqrt{8} ] [ l = 2\sqrt{2} \text{ м} ]
Угол наклона боковой грани к плоскости основания (угол между апофемой и радиусом основания): [ \tan \theta = \frac{h}{r} ] [ \tan \theta = \frac{2}{2} = 1 ] [ \theta = \arctan(1) = 45^\circ ]
Площадь основания: [ S_{\text{осн}} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ м}^2 ]
Площадь одной боковой грани (равнобедренный треугольник с основанием ( a ) и высотой ( l )): [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ м}^2 ]
Так как у пирамиды четыре боковые грани: [ S{\text{бок, полн}} = 4 \cdot S{\text{бок}} = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ м}^2 ]
Площадь полной поверхности пирамиды: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок, полн}} ] [ S{\text{полн}} = 16 + 16\sqrt{2} \text{ м}^2 ]
Таким образом, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен ( 45^\circ ), а площадь полной поверхности пирамиды составляет ( 16 + 16\sqrt{2} ) м².
1) Пусть длины измерений прямоугольного параллелепипеда равны a, 2a и 4a. Тогда по теореме Пифагора диагональ параллелепипеда равна √(a^2 + (2a)^2 + (4a)^2) = √(21a^2) = √21a см.
Так как длина диагонали равна 4√21 см, то получаем уравнение √21a = 4√21, откуда a = 4 см.
Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности равна 2(a+2a+4a) 2a = 24a^2 см^2. Площадь оснований равна 2a2a + 2a4a + 2(2a4a) = 28a^2 см^2. Итого, площадь полной поверхности параллелепипеда равна 24a^2 + 28a^2 = 52a^2 = 52*16 = 832 см^2.
2) Угол наклона боковой грани к плоскости основания можно найти, используя теорему Пифагора. Пусть h - высота пирамиды, l - половина длины стороны основания, а s - высота боковой грани. Тогда по теореме Пифагора получаем l^2 + s^2 = h^2, откуда s = √(h^2 - l^2) = √(2^2 - 4^2) = √(4 - 16) = √(-12).
Учитывая, что угол наклона боковой грани к плоскости основания равен arctg(s/l), получаем arctg(√(-12)/4). Поскольку арктангенс не определен для отрицательных чисел, угол наклона будет комплексным.
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна 4^2 = 16 м^2. Площадь боковой поверхности равна 4 √(4^2 + 2^2) = 4 √(16 + 4) = 4 * √20 = 8√5 м^2. Итого, площадь полной поверхности пирамиды равна 16 + 8√5 м^2.
