1)В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали 4√$21$см, длины его измерений относятся как 1: 2...

1. Прямоугольный параллелепипед

Дано:

• Длина диагонали $d=4\sqrt{21}$ см.
• Отношение сторон: $a:b:c=1:2:4$.

Найти:

• Площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

Пусть длины сторон прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $2a$, и $4a$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: $d=\sqrt{a^2+(2a{)}^2+(4a{)}^2}$

Подставим $d=4\sqrt{21}$: $4\sqrt{21}=\sqrt{a^2+4a^2+16a^2}$ $4\sqrt{21}=\sqrt{21a^2}$ $4\sqrt{21}=\sqrt{21}\cdot a\cdot 4\to a=4$

Теперь найдем длины сторон: $a=4$ $b=2a=2\cdot 4=8$ $c=4a=4\cdot 4=16$

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: $S=2(ab+bc+ac)$ $S=2(4\cdot 8+8\cdot 16+4\cdot 16)$ $S=2(32+128+64)$ $S=2\cdot 224$ $S=448{\text{ см}}^2$

2. Правильная четырёхугольная пирамида

Дано:

• Сторона основания $a=4$ м.
• Высота пирамиды $h=2$ м.

Найти:

• Угол наклона боковой грани к плоскости основания.
• Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Угол наклона боковой грани к плоскости основания:

Для нахождения угла наклона боковой грани к плоскости основания, нам нужно найти апофему $высотубоковойграни$, которая является гипотенузой треугольника, образованного высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания.

Радиус вписанной окружности основания правильной четырёхугольной пирамиды равен половине стороны основания: $r=\frac{a}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ м}$

Теперь найдем апофему $l$: $l=\sqrt{h^2+r^2}$ $l=\sqrt{2^2+2^2}$ $l=\sqrt{4+4}$ $l=\sqrt{8}$ $l=2\sqrt{2}\text{ м}$

Угол наклона боковой грани к плоскости основания $уголмеждуапофемойирадиусомоснования$: $\tan \theta =\frac{h}{r}$ $\tan \theta =\frac{2}{2}=1$ $\theta =\arctan (1)={45}^{\circ }$

1. Площадь полной поверхности пирамиды:

Площадь основания: $S_{\text{осн}}=a^2=4^2=16{\text{ м}}^2$

Площадь одной боковой грани $равнобедренныйтреугольниксоснованием(a$ и высотой $l$): $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}{\text{ м}}^2$

Так как у пирамиды четыре боковые грани: [ S{\text{бок, полн}} = 4 \cdot S{\text{бок}} = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ м}^2 ]

Площадь полной поверхности пирамиды: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок, полн}} ] [ S{\text{полн}} = 16 + 16\sqrt{2} \text{ м}^2 ]

Таким образом, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен ${45}^{\circ }$, а площадь полной поверхности пирамиды составляет $16+16\sqrt{2}$ м².

1) Пусть длины измерений прямоугольного параллелепипеда равны a, 2a и 4a. Тогда по теореме Пифагора диагональ параллелепипеда равна √$a^2+(2a$^2 + $4a$^2) = √$21a^2$ = √21a см.

Так как длина диагонали равна 4√21 см, то получаем уравнение √21a = 4√21, откуда a = 4 см.

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности равна 2$a+2a+4a$ 2a = 24a^2 см^2. Площадь оснований равна 2a2a + 2a4a + 2(2a4a) = 28a^2 см^2. Итого, площадь полной поверхности параллелепипеда равна 24a^2 + 28a^2 = 52a^2 = 52*16 = 832 см^2.

2) Угол наклона боковой грани к плоскости основания можно найти, используя теорему Пифагора. Пусть h - высота пирамиды, l - половина длины стороны основания, а s - высота боковой грани. Тогда по теореме Пифагора получаем l^2 + s^2 = h^2, откуда s = √$h^2-l^2$ = √$2^2-4^2$ = √$4-16$ = √$-12$.

Учитывая, что угол наклона боковой грани к плоскости основания равен arctg$s/l$, получаем arctg$\surd (-12$/4). Поскольку арктангенс не определен для отрицательных чисел, угол наклона будет комплексным.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна 4^2 = 16 м^2. Площадь боковой поверхности равна 4 √$4^2+2^2$ = 4 √$16+4$ = 4 * √20 = 8√5 м^2. Итого, площадь полной поверхности пирамиды равна 16 + 8√5 м^2.