1)В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведённая к ней, 12 см. Найдите радиус...

Для начала найдем площадь равнобедренного треугольника с помощью формулы S = 0.5 a h, где a - основание, h - высота. S = 0.5 10 12 = 60 кв.см.

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, будет являться медианой и высотой, а также радиусом вписанной окружности. Так как площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности, то можем найти радиус вписанной окружности по формуле: r = S / p, где p - полупериметр треугольника. Полупериметр треугольника равен $10+12+12$ / 2 = 17 см. r = 60 / 17 ≈ 3.53 см.

Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, на которую опирается вершина треугольника. Так как сторона треугольника равна 10 см, то радиус описанной окружности равен 5 см.

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться свойствами треугольников и формулами для радиусов вписанной и описанной окружностей.

Дано:

• Равнобедренный треугольник $\mathrm{△}ABC$ с основанием $AB=10$ см.
• Высота $CD=12$ см, проведённая к основанию $AB$.

Задача:

1. Найти радиус вписанной окружности $(r$).
2. Найти радиус описанной окружности $(R$).

Шаг 1: Найдем стороны треугольника

Поскольку $\mathrm{△}ABC$ равнобедренный, $AC=BC$. Высота $CD$ делит основание $AB$ пополам, поэтому $AD=DB=5$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{△}ACD$:

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2=5^2+{12}^2=25+144=169$

$AC=\sqrt{169}=13\text{ см}$

Таким образом, $AC=BC=13$ см.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника

Площадь треугольника $S$ можно найти через основание и высоту:

$S=\frac{1}{2}\times AB\times CD=\frac{1}{2}\times 10\times 12=60{\text{ см}}^2$

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности $(r$)

Формула для радиуса вписанной окружности:

$r=\frac{S}{p}$

где $p$ — полупериметр треугольника. Найдем полупериметр:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+13+13}{2}=18\text{ см}$

Теперь найдем $r$:

$r=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\approx 3.33\text{ см}$

Шаг 4: Найдем радиус описанной окружности $(R$)

Формула для радиуса описанной окружности:

$R=\frac{abc}{4S}$

где $a=13$, $b=13$, $c=10$. Подставим значения в формулу:

$R=\frac{13\times 13\times 10}{4\times 60}=\frac{1690}{240}=\frac{169}{24}\approx 7.04\text{ см}$

Ответ:

1. Радиус вписанной окружности: $r\approx 3.33$ см.
2. Радиус описанной окружности: $R\approx 7.04$ см.