1)В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведённая к ней, 12 см. Найдите радиус...

Для начала найдем площадь равнобедренного треугольника с помощью формулы S = 0.5 a h, где a - основание, h - высота. S = 0.5 10 12 = 60 кв.см.

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, будет являться медианой и высотой, а также радиусом вписанной окружности. Так как площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности, то можем найти радиус вписанной окружности по формуле: r = S / p, где p - полупериметр треугольника. Полупериметр треугольника равен (10 + 12 + 12) / 2 = 17 см. r = 60 / 17 ≈ 3.53 см.

Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, на которую опирается вершина треугольника. Так как сторона треугольника равна 10 см, то радиус описанной окружности равен 5 см.

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться свойствами треугольников и формулами для радиусов вписанной и описанной окружностей.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AB = 10 ) см.
• Высота ( CD = 12 ) см, проведённая к основанию ( AB ).

Задача:

1. Найти радиус вписанной окружности (( r )).
2. Найти радиус описанной окружности (( R )).

Шаг 1: Найдем стороны треугольника

Поскольку ( \triangle ABC ) равнобедренный, ( AC = BC ). Высота ( CD ) делит основание ( AB ) пополам, поэтому ( AD = DB = 5 ) см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ACD ):

[ AC^2 = AD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 ]

[ AC = \sqrt{169} = 13 \text{ см} ]

Таким образом, ( AC = BC = 13 ) см.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника

Площадь треугольника ( S ) можно найти через основание и высоту:

[ S = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности (( r ))

Формула для радиуса вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( p ) — полупериметр треугольника. Найдем полупериметр:

[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18 \text{ см} ]

Теперь найдем ( r ):

[ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см} ]

Шаг 4: Найдем радиус описанной окружности (( R ))

Формула для радиуса описанной окружности:

[ R = \frac{abc}{4S} ]

где ( a = 13 ), ( b = 13 ), ( c = 10 ). Подставим значения в формулу:

[ R = \frac{13 \times 13 \times 10}{4 \times 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24} \approx 7.04 \text{ см} ]

Ответ:

1. Радиус вписанной окружности: ( r \approx 3.33 ) см.
2. Радиус описанной окружности: ( R \approx 7.04 ) см.