1.В треугольнике АВС проведена биссектриса AD, причем AD=DC, угол С равен 20 градусам. Найдите углы...

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

Вопрос 1:

У нас есть треугольник ( \triangle ABC ) с биссектрисой ( AD ), где ( AD = DC ), и угол ( \angle C = 20^\circ ). Нужно найти углы треугольников ( \triangle ABC ) и ( \triangle ADC ).

1. Треугольник ( \triangle ADC ):

   • Поскольку ( AD = DC ), треугольник ( \triangle ADC ) является равнобедренным с ( \angle C = 20^\circ ).
   • Следовательно, углы при основании равны: ( \angle DAC = \angle ACD = x ).
   • Используя теорему о сумме углов треугольника, имеем: [ \angle ADC = 180^\circ - 2x ] [ x + x + 20^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2x = 160^\circ \Rightarrow x = 80^\circ ]
   • Таким образом, углы треугольника ( \triangle ADC ) равны: ( \angle DAC = \angle ACD = 80^\circ ), ( \angle ADC = 20^\circ ).

2. Треугольник ( \triangle ABC ):

   • Поскольку ( AD ) — биссектриса, ( \angle BAD = \angle CAD).
   • Угол ( \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 80^\circ ).
   • Теперь найдём ( \angle ABC ): [ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ - 20^\circ = 80^\circ ]
   • Таким образом, углы треугольника ( \triangle ABC ) равны: ( \angle A = 80^\circ ), ( \angle B = 80^\circ ), ( \angle C = 20^\circ ).

Вопрос 2:

У нас есть треугольник ( \triangle ABM ) с высотой ( BH ), которая делит сторону ( AM ) пополам, и периметр треугольника ( \triangle ABH ) равен 15 см. Нужно найти периметр треугольника ( \triangle ABM ).

1. Треугольник ( \triangle ABH ):

   • Периметр треугольника ( \triangle ABH ) равен: [ AB + BH + AH = 15 \text{ см} ]

2. Треугольник ( \triangle ABM ):

   • Поскольку ( BH ) — высота и делит ( AM ) пополам, то ( AH = HM ).
   • Тогда ( AM = 2 \times AH ).
   • Периметр ( \triangle ABM ) равен: [ AB + BM + AM = AB + (BH + HM) + 2 \times AH ]
   • Заменим ( HM ) на ( AH ): [ = AB + BH + AH + 2 \times AH = AB + BH + 3 \times AH ]
   • Подставим периметр ( \triangle ABH ): [ = 15 \text{ см} + 2 \times AH ]
   • Так как ( BH = 5 \text{ см} ) и ( BH + AH = 15 \text{ см} - AB ), то: [ AH = 5 \text{ см} ]
   • Таким образом, периметр ( \triangle ABM ) равен: [ 15 \text{ см} + 2 \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника ( \triangle ABM ) равен 25 см.

1. Угол ABC = 70 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов), угол ADC = 80 градусов (так как угол C равен 20 градусов, а AD = DC).
2. Периметр треугольника АВМ равен 20 см (так как высота ВН делит сторону АМ пополам, то АН = 10 см, а значит периметр треугольника АВН равен AB + BN + AN = 15, отсюда AB + 5 + 10 = 15, AB = 15 - 15 = 5, а значит периметр треугольника АВМ равен AB + BM + AM = 5 + 5 + 10 = 20).