2) На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB=BM=KD, AMB=30°. Найдите углы параллелограмма...

Углы параллелограмма ABCD равны: ∠A = ∠C = 150°, ∠B = ∠D = 30°. Отрезки AM и CK равны.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Из условия задачи известно, что AB=BM=KD и AMB=30°. Так как AB=BM, то треугольник ABM является равносторонним, следовательно, угол AMB=60°. Также, так как BC || AD, то углы B и C являются смежными и их сумма равна 180°, аналогично углы D и A также равны 180°.

Теперь рассмотрим треугольник CKD. Так как KD=BM=AB, то треугольник CKD также является равносторонним, а значит угол CKD=60°. Таким образом, углы K и D также являются смежными и их сумма равна 180°.

Таким образом, угол CKD=60° и угол AMB=60°, что означает, что углы параллелограмма ABCD равны между собой.

Относительно отрезков AM и CK, так как треугольник ABM равносторонний, то AM=BM. Также треугольник CKD равносторонний, а значит CK=KD. Следовательно, отрезки AM и CK равны между собой.

Итак, в параллелограмме ABCD углы равны между собой, а отрезки AM и CK равны друг другу.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ с точками $M$ и $K$, расположенными на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно. Дано, что $AB=BM=KD$ и $\mathrm{\angle }AMB={30}^{\circ }$. Нам необходимо найти углы параллелограмма и сравнить отрезки $AM$ и $CK$.

1. Определение углов параллелограмма: Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, противоположные стороны равны и параллельны, а противоположные углы равны. Обозначим углы параллелограмма следующим образом:

   • $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C=\alpha$
   • $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D=\beta$

   В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна ${180}^{\circ }$: $\alpha +\beta ={180}^{\circ }$

2. Использование данных о точках $M$ и $K$: По условию, $AB=BM=KD$. Это значит, что точки $M$ и $K$ делят стороны $BC$ и $AD$ пополам, следовательно, $M$ и $K$ являются серединами этих сторон. Поэтому: $BM=\frac{BC}{2}\text{и}KD=\frac{AD}{2}$

3. Анализ треугольника $AMB$: Рассмотрим треугольник $AMB$. Дано, что $\mathrm{\angle }AMB={30}^{\circ }$ и $AB=BM$.

   Поскольку $BM=AB$, треугольник $AMB$ является равнобедренным с углом при вершине $M$ равным ${30}^{\circ }$. Следовательно, углы при основаниях $A$ и $B$ равны: $\mathrm{\angle }BAM=\mathrm{\angle }BMA=\frac{{180}^{\circ }-{30}^{\circ }}{2}={75}^{\circ }$

4. Определение углов параллелограмма: Теперь рассмотрим угол $\mathrm{\angle }DAB$ в параллелограмме. Он будет равен сумме углов $\mathrm{\angle }BAM$ и $\mathrm{\angle }BMA$: $\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }BAM+\mathrm{\angle }BMA={75}^{\circ }+{75}^{\circ }={150}^{\circ }$

   Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то: $\alpha =\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C={150}^{\circ }$ Соответственно: $\beta =\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$

5. Сравнение отрезков $AM$ и $CK$: Рассмотрим треугольник $AKD$. Поскольку $K$ является серединой стороны $AD$, то $AK=KD=\frac{AD}{2}$.

   В треугольнике $AKD$ угол $\mathrm{\angle }AKD={30}^{\circ }$ $поскольку(\mathrm{\angle }B={30}^{\circ }$, а углы противоположные при параллельных сторонах в параллелограмме равны). Следовательно, треугольник $AKD$ также равнобедренный, аналогично треугольнику $AMB$.

   Таким образом, можно заключить, что: $AM=AK$ Поскольку $M$ и $K$ делят противоположные стороны пополам, и треугольники $AMB$ и $AKD$ равнобедренные с равными сторонами и углами, то: $AM=CK$

Таким образом, углы параллелограмма $ABCD$ равны $\alpha ={150}^{\circ }$ и $\beta ={30}^{\circ }$. Отрезки $AM$ и $CK$ равны между собой.