2) На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB=BM=KD, AMB=30°. Найдите углы параллелограмма...

Углы параллелограмма ABCD равны: ∠A = ∠C = 150°, ∠B = ∠D = 30°. Отрезки AM и CK равны.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Из условия задачи известно, что AB=BM=KD и AMB=30°. Так как AB=BM, то треугольник ABM является равносторонним, следовательно, угол AMB=60°. Также, так как BC || AD, то углы B и C являются смежными и их сумма равна 180°, аналогично углы D и A также равны 180°.

Теперь рассмотрим треугольник CKD. Так как KD=BM=AB, то треугольник CKD также является равносторонним, а значит угол CKD=60°. Таким образом, углы K и D также являются смежными и их сумма равна 180°.

Таким образом, угол CKD=60° и угол AMB=60°, что означает, что углы параллелограмма ABCD равны между собой.

Относительно отрезков AM и CK, так как треугольник ABM равносторонний, то AM=BM. Также треугольник CKD равносторонний, а значит CK=KD. Следовательно, отрезки AM и CK равны между собой.

Итак, в параллелограмме ABCD углы равны между собой, а отрезки AM и CK равны друг другу.

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с точками (M) и (K), расположенными на сторонах (BC) и (AD) соответственно. Дано, что (AB = BM = KD) и (\angle AMB = 30^\circ). Нам необходимо найти углы параллелограмма и сравнить отрезки (AM) и (CK).

1. Определение углов параллелограмма: Поскольку (ABCD) является параллелограммом, противоположные стороны равны и параллельны, а противоположные углы равны. Обозначим углы параллелограмма следующим образом:

   • (\angle A = \angle C = \alpha)
   • (\angle B = \angle D = \beta)

   В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна (180^\circ): [ \alpha + \beta = 180^\circ ]

2. Использование данных о точках (M) и (K): По условию, (AB = BM = KD). Это значит, что точки (M) и (K) делят стороны (BC) и (AD) пополам, следовательно, (M) и (K) являются серединами этих сторон. Поэтому: [ BM = \frac{BC}{2} \quad \text{и} \quad KD = \frac{AD}{2} ]

3. Анализ треугольника (AMB): Рассмотрим треугольник (AMB). Дано, что (\angle AMB = 30^\circ) и (AB = BM).

   Поскольку (BM = AB), треугольник (AMB) является равнобедренным с углом при вершине (M) равным (30^\circ). Следовательно, углы при основаниях (A) и (B) равны: [ \angle BAM = \angle BMA = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ ]

4. Определение углов параллелограмма: Теперь рассмотрим угол (\angle DAB) в параллелограмме. Он будет равен сумме углов (\angle BAM) и (\angle BMA): [ \angle DAB = \angle BAM + \angle BMA = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ ]

   Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то: [ \alpha = \angle A = \angle C = 150^\circ ] Соответственно: [ \beta = \angle B = \angle D = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ]

5. Сравнение отрезков (AM) и (CK): Рассмотрим треугольник (AKD). Поскольку (K) является серединой стороны (AD), то (AK = KD = \frac{AD}{2}).

   В треугольнике (AKD) угол (\angle AKD = 30^\circ) (поскольку (\angle B = 30^\circ), а углы противоположные при параллельных сторонах в параллелограмме равны). Следовательно, треугольник (AKD) также равнобедренный, аналогично треугольнику (AMB).

   Таким образом, можно заключить, что: [ AM = AK ] Поскольку (M) и (K) делят противоположные стороны пополам, и треугольники (AMB) и (AKD) равнобедренные с равными сторонами и углами, то: [ AM = CK ]

Таким образом, углы параллелограмма (ABCD) равны (\alpha = 150^\circ) и (\beta = 30^\circ). Отрезки (AM) и (CK) равны между собой.