2 стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника...

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов и формулой для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними.

1. Нахождение третьей стороны треугольника:

Треугольник со сторонами 10 см и 12 см и углом в 120° между этими сторонами имеет третью сторону ( c ), которую можно найти с помощью теоремы косинусов:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta ]

где ( a = 10 ) см, ( b = 12 ) см, и ( \theta = 120° ). Косинус 120° равен (-1/2).

[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot (-1/2) ] [ c^2 = 100 + 144 + 120 ] [ c^2 = 364 ] [ c = \sqrt{364} = 19.1 \text{ см (приблизительно)} ]

2. Нахождение площади треугольника:

Площадь треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2}ab \sin \theta ]

где ( a = 10 ) см, ( b = 12 ) см, и ( \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2} ).

[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 15\sqrt{3} \text{ см}^2 ] [ S \approx 15 \cdot 1.732 = 25.98 \text{ см}^2 ]

Таким образом, третья сторона треугольника примерно равна 19.1 см, а его площадь составляет около 25.98 квадратных сантиметров.

Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться косинусным законом. По формуле косинусного закона:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения:

c^2 = 10^2 + 12^2 - 21012cos(120°), c^2 = 100 + 144 - 240(-0.5), c^2 = 100 + 144 + 120, c^2 = 364.

Извлекаем корень, чтобы найти третью сторону треугольника:

c = √364, c ≈ 19.1 см.

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

S = 0.5 a b * sin(C),

где S - площадь треугольника, a и b - известные стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Подставляем значения:

S = 0.5 10 12 sin(120°), S = 0.5 10 12 √3 / 2, S = 60 * √3 / 2, S = 30√3.

Итак, третья сторона треугольника равна примерно 19.1 см, а площадь треугольника равна 30√3 квадратных сантиметров.