2) В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка О - центр треугольника ABC. a) Построить вектор DC+1/3(CA+CB)...

a) Вектор DC+1/3(CA+CB) = DC + 1/3(CA) + 1/3(CB) = DC + (1/3)DC = (4/3)DC. b) |DO-1/2DA| = |DO - 1/2(DC + CA)| = |DO - 1/2DC - 1/2CA| = |DO - 1/2DC - 1/2DC| = |DO - DC| = |OC| = 1/3|OD|.

Длина вектора (4/3)DC равна 4/3 раза длине DC. |OD| и |DC| равны, поэтому |DO-1/2DA| равно 1/3.

a) Вектор DC можно представить как вектор из точки D в точку C. Вектор CA можно представить как вектор из точки C в точку A, а CB - как вектор из точки C в точку B. Умножив вектор CA и CB на 1/3, мы уменьшим их длину в три раза. Затем сложим эти векторы с вектором DC. Полученный вектор будет направлен от точки D к точке O.

b) Вектор DO можно представить как вектор из точки D в точку O. Умножив вектор DA на 1/2, мы уменьшим его длину в два раза. Затем вычтем этот вектор из вектора DO. Полученный вектор будет направлен от точки O к точке D.

Часть a)

Построение вектора DC+1/3(CA+CB) и нахождение его длины:

1. Вектор DC: Вектор, который направлен от вершины C к вершине D.

2. Векторы CA и CB: Векторы, направленные от вершины A к вершине C и от вершины B к вершине C соответственно.

3. Выражение 1/3(CA+CB):

   • Вектор ( \vec{CA} = \vec{C} - \vec{A} )
   • Вектор ( \vec{CB} = \vec{C} - \vec{B} )
   • Сумма ( \vec{CA} + \vec{CB} = (\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) = 2\vec{C} - \vec{A} - \vec{B} )
   • Треть от суммы: ( \frac{1}{3}(2\vec{C} - \vec{A} - \vec{B}) )

4. Суммирование векторов DC и 1/3(CA+CB):

   • ( \vec{DC} = \vec{D} - \vec{C} )
   • ( \vec{DC} + \frac{1}{3}(2\vec{C} - \vec{A} - \vec{B}) = \vec{D} - \vec{C} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} = \vec{D} - \frac{1}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} )

5. Длина вектора:

   • Поскольку ( \vec{O} ) — центр треугольника ABC, ( \vec{O} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) )
   • Тогда ( \vec{D} - \vec{O} = \vec{D} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) ) является тем же самым вектором, что и ( \vec{DC} + \frac{1}{3}(2\vec{C} - \vec{A} - \vec{B}) )
   • В правильном тетраэдре ( |\vec{D} - \vec{O}| ) равно высоте треугольника ABC, которая вычисляется по формуле ( h = \frac{\sqrt{2}}{2}a ), где ( a ) — длина ребра тетраэдра.

Часть b)

Нахождение ( |DO - \frac{1}{2}DA| ):

1. Вектор DA: Вектор, направленный от вершины A к вершине D.

2. Выражение ( \frac{1}{2}DA ):

   • ( \frac{1}{2}\vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{D} - \vec{A}) )

3. Выражение ( \vec{DO} - \frac{1}{2}\vec{DA} ):

   • ( \vec{DO} = \vec{D} - \vec{O} )
   • ( \vec{DO} - \frac{1}{2}\vec{DA} = (\vec{D} - \vec{O}) - \frac{1}{2}(\vec{D} - \vec{A}) = \frac{1}{2}\vec{D} + \frac{1}{2}\vec{A} - \vec{O} )

4. Переписывание через ( \vec{O} ):

   • ( \vec{O} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) )
   • ( \frac{1}{2}\vec{D} + \frac{1}{2}\vec{A} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2}\vec{D} + \frac{1}{6}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C} )

Длина этого вектора также будет равна ( \frac{\sqrt{2}}{4}a ), учитывая симметрию и геометрические соотношения в правильном тетраэдре.