2)дан тетраэдр DABC,точка М-середина ребра ВС,точка N - середина ребра DM Выразите вектор AN через вектора:...

2) Вектор AN = 1/2 (b + c - 1/2 a)

3) Вектор B1P = 1/3 * (a + b + c)

1) а) Вектор с началом в вершине A и концом в вершине B1: AB1 б) Вектор с началом в вершине A и концом в вершине C1: AC1

2) Вектор AN можно выразить через вектора a, b, c следующим образом: AN = AM + MN = AM + (MD + DN) = (AD + DM/2) + (DM/2 + MN) = AD/2 + DM + DN/2 = AD/2 + (AB + BD/2) + (DC/2 + (AD + DC)/2) = AD/2 + AB/2 + BD/4 + DC/4 + AD/2 + DC/4 = AB/2 + BD/4 + DC/4 + AD

3) Вектор B1P можно разложить по векторам a, b, c следующим образом: B1P = B1R + RP = B1R + (RA + AP) = (B1A/2) + (B1C/2 + (B1B + BC/2)) = B1A/2 + B1C/2 + B1B/2 + BC/2

1) Вектор, начинающийся в вершине A1 и заканчивающийся в вершине C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, равен: AC1. Вектор, начинающийся в вершине A и заканчивающийся в вершине C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, равен: AC1 - AC.

Давайте разберем каждый из вопросов по очереди.

Вопрос 2

Дан тетраэдр (DABC), точка (M) — середина ребра (BC), точка (N) — середина ребра (DM). Необходимо выразить вектор (\overrightarrow{AN}) через векторы (\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}), (\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AD}).

1. Найдем вектор (\overrightarrow{AM}): [ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{A} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) ] [ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) ]

2. Найдем вектор (\overrightarrow{AN}): [ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{c} ] [ \overrightarrow{DN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{D} + \overrightarrow{M}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{M}) ] [ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{A} ] [ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})) = \frac{1}{2}\overrightarrow{c} + \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} ]

Таким образом, (\overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}).

Вопрос 3

В параллелепипеде (ABCDA_1B_1C_1D_1) медианы треугольника (ABD) пересекаются в точке (P). Нужно разложить вектор (\overrightarrow{B_1P}) по векторам (\overrightarrow{a} = \overrightarrow{B_1A}), (\overrightarrow{b} = \overrightarrow{B_1C}), (\overrightarrow{c} = \overrightarrow{B_1B}).

1. Найдем координаты точки (P), центра тяжести треугольника (ABD): [ \overrightarrow{P} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) ] [ \overrightarrow{B_1P} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{B_1} ] [ \overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) - \overrightarrow{B_1} ]

2. Разложим (\overrightarrow{B_1P}) по (\overrightarrow{a}), (\overrightarrow{b}), (\overrightarrow{c}): [ \overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B_1A} + \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{B_1D}) ] [ = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{B_1A} + \overrightarrow{B_1C}) ] [ = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} + \frac{1}{3}(-\overrightarrow{b}) ]

Итак, (\overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}).

Вопрос 1

Дан параллелепипед (ABCDA_1B_1C_1D_1). Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда:

а) Векторы (\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD}):

• (\overrightarrow{A_1B_1}) — это перемещение вдоль ребра верхней грани параллелепипеда.
• (\overrightarrow{BC}) — перемещение вдоль ребра нижней грани.
• (\overrightarrow{DD_1}) — перемещение вверх вдоль вертикального ребра.
• (\overrightarrow{CD}) — перемещение вдоль ребра нижней грани назад.
• В сумме эти перемещения дают вектор (\overrightarrow{A_1C_1}).

б) Вектор (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CC_1}):

• (\overrightarrow{AB}) — перемещение вперед по горизонтальной грани.
• (-\overrightarrow{CC_1}) — перемещение вниз по вертикальному ребру.
• В сумме это даст вектор (\overrightarrow{AD}).