5.Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=ВС=40, АС=48, ОО1=5. Найдите радиус шара.
5.Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=ВС=40, АС=48, ОО1=5. Найдите радиус шара.
Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой о вписанном угле, которая гласит, что угол, заключенный между хордой и касательной, равен половине величины угла, который хорда образует на дуге. В данном случае треугольник АВС является равнобедренным, так как АВ=ВС. Таким образом, угол А в треугольнике АВС равен углу С. Также из теоремы о проекциях треугольника на диаметр окружности следует, что АО1=О1С=радиус окружности. По теореме Пифагора в треугольнике АВС имеем: (48)^2 = (40)^2 + (40)^2 2304 = 1600 + 1600 2304 = 3200 48 = 40√2 Из равнобедренности треугольника следует, что угол А равен 45 градусам. Теперь можем найти радиус шара: sin(45) = О1С / 48 √2 / 2 = О1С / 48 О1С = 24√2 Таким образом, радиус шара равен 24√2.
Радиус шара равен 17.
Для решения задачи сначала нужно понять геометрическую конфигурацию. У нас есть треугольник ( \triangle ABC ), вписанный в окружность, которая является сечением шара плоскостью. Даны длины сторон треугольника ( AB = BC = 40 ) и ( AC = 48 ). Также известно, что расстояние от центра окружности ( O ) до центра шара ( O_1 ) равно 5.
Поскольку ( AB = BC ), треугольник ( \triangle ABC ) является равнобедренным. Для такого треугольника можно найти радиус описанной окружности ( R ) с помощью формулы для радиуса окружности, описанной около треугольника:
[ R = \frac{abc}{4K} ]
где ( a = 40 ), ( b = 40 ), ( c = 48 ), и ( K ) — площадь треугольника, которая может быть найдена с использованием формулы Герона:
[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{40 + 40 + 48}{2} = 64 ]
[ K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{64 \cdot (64-40) \cdot (64-40) \cdot (64-48)} ]
[ K = \sqrt{64 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 16} = \sqrt{64 \cdot 576 \cdot 16} = \sqrt{589824} = 768 ]
Теперь можем найти ( R ):
[ R = \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot 768} = \frac{76800}{3072} = 25 ]
Для нахождения радиуса шара ( R_s ) используем связь между радиусом окружности сечения и радиусом шара. Из геометрии известно, что если ( O ) — центр окружности, а ( O_1 ) — центр шара, то радиус шара ( R_s ) можно найти по формуле:
[ R_s = \sqrt{R^2 + OO_1^2} ]
Подставим известные значения:
[ R_s = \sqrt{25^2 + 5^2} = \sqrt{625 + 25} = \sqrt{650} ]
Таким образом, радиус шара ( R_s = \sqrt{650} \approx 25.5 ).
Итак, радиус шара равен ( \sqrt{650} ) или примерно 25.5.
