A) Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, точка К- на стороне BC, AD:DB=3:1 и BК: КC=4:1. Прямая...

Для решения задач $A$ и $B$ по геометрии треугольников, будем использовать свойства подобия треугольников и теорему Менелая.

Задача $A$:

Итак, дан треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $K$ лежит на стороне $BC$. Дано, что $\frac{AD}{DB}=3:1$ и $\frac{BK}{KC}=4:1$. Прямая $DK$ пересекает прямую $AC$ в точке $F$. Нужно найти отношение $\frac{CF}{AC}$.

Для этого воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $ABC$ с секущей $DFK$.

По теореме Менелая для треугольника $ABC$ и точки пересечения $D,F,K$ секущей:

$\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BK}{KC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$

Подставим известные значения: $\frac{AD}{DB}=3,\frac{BK}{KC}=4$

Тогда уравнение примет вид: $3\cdot 4\cdot \frac{CF}{FA}=1$

Решаем уравнение относительно $\frac{CF}{FA}$: $12\cdot \frac{CF}{FA}=1⟹\frac{CF}{FA}=\frac{1}{12}$

Теперь, чтобы найти отношение $\frac{CF}{AC}$:

Поскольку $AC=CF+FA$, то: $\frac{CF}{AC}=\frac{CF}{CF+FA}$

Подставим $FA=12\cdot CF$: $\frac{CF}{AC}=\frac{CF}{CF+12\cdot CF}=\frac{CF}{13\cdot CF}=\frac{1}{13}$

Таким образом, отношение $\frac{CF}{AC}$ равно $\frac{1}{13}$.

Задача $B$:

Теперь рассмотрим вторую задачу. При таком же расположении точек на сторонах треугольника, отрезки $AK$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Нужно найти отношения $\frac{AO}{OK}$ и $\frac{DO}{OC}$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Чевы. В треугольнике $ABC$ отрезки $AK$, $CD$ и $DO$ пересекаются в точке $O$.

Для треугольника $ABC$ по теореме Чевы:

$\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BK}{KC}\cdot \frac{CO}{OA}=1$

Подставим известные значения: $\frac{AD}{DB}=3,\frac{BK}{KC}=4$

Пусть $\frac{AO}{OK}=x$ и $\frac{DO}{OC}=y$.

Используя теорему Чевы, запишем: $3\cdot 4\cdot y=1⟹12y=1⟹y=\frac{1}{12}$

Таким образом, отношение $\frac{DO}{OC}=\frac{1}{12}$.

Теперь найдем отношение $\frac{AO}{OK}$. По теореме Чевы: $\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BK}{KC}\cdot \frac{CO}{OA}=1$

Подставив значения и $\frac{CO}{OA}=\frac{1}{x}$: $3\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=1⟹12\cdot \frac{1}{x}=1⟹x=12$

Таким образом, отношение $\frac{AO}{OK}=12$.

Подытожим:

• $\frac{AO}{OK}=12$
• $\frac{DO}{OC}=\frac{1}{12}$

а) Отношение CF:AC равно 1:3.

б) Отношения АО:ОК и DO:ОС равны 3:1 и 1:3 соответственно.

A) Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Менелая. Пусть точка D делит сторону AB в отношении 3:1, то есть AD/DB=3/1=3. Точка К делит сторону BC в отношении 4:1, то есть BK/KC=4/1=4. Теперь рассмотрим треугольник ABC и проведем прямую DK. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой DK, имеем: AF/FC CK/KB BD/DA = 1 Подставляем известные значения: AF/FC 1/4 1/3 = 1 Отсюда получаем, что AF/FC = 12. Теперь рассмотрим треугольник AFC и прямую DK. По теореме Менелая для треугольника AFC и прямой DK, имеем: AF/FC CD/DA AK/KC = 1 Подставляем известные значения: 12 CD/DA AK/4 = 1 Отсюда получаем, что CD/DA AK/4 = 1/12 CD/DA = AK/4 12 = 3AK Таким образом, отношение CF к AC равно 3.

б) Теперь рассмотрим трапецию АКСD. По теореме Талеса для трапеции, имеем: AO/OK = AD/DK = 3/1 = 3 DO/OC = DK/CK = 1/4 Таким образом, отношение АО к ОК равно 3, а отношение DO к OC равно 1:4.