Для решения задач и по геометрии треугольников, будем использовать свойства подобия треугольников и теорему Менелая.
Задача :
Итак, дан треугольник . Точка лежит на стороне , точка лежит на стороне . Дано, что и . Прямая пересекает прямую в точке . Нужно найти отношение .
Для этого воспользуемся теоремой Менелая для треугольника с секущей .
По теореме Менелая для треугольника и точки пересечения секущей:
Подставим известные значения:
Тогда уравнение примет вид:
Решаем уравнение относительно :
Теперь, чтобы найти отношение :
Поскольку , то:
Подставим :
Таким образом, отношение равно .
Задача :
Теперь рассмотрим вторую задачу. При таком же расположении точек на сторонах треугольника, отрезки и пересекаются в точке . Нужно найти отношения и .
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Чевы. В треугольнике отрезки , и пересекаются в точке .
Для треугольника по теореме Чевы:
Подставим известные значения:
Пусть и .
Используя теорему Чевы, запишем:
Таким образом, отношение .
Теперь найдем отношение . По теореме Чевы:
Подставив значения и :
Таким образом, отношение .
Подытожим: