ABCD - квадрат Диагонали AC и BD пересекаются в точке O Сторона AB = a Найти: AO

В квадрате ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Это свойство диагоналей квадрата, которое вытекает из симметрии фигуры. Поскольку квадрат — это частный случай параллелограмма, для которого диагонали равны и перпендикулярны, они также делятся пополам в точке пересечения.

Давайте найдем длину диагонали AC. Поскольку квадрат — это прямоугольник, диагонали квадрата равны и их длины можно вычислить с использованием теоремы Пифагора. В треугольнике ABC, который является прямоугольным (углы A и B прямые), диагональ AC является гипотенузой, а стороны AB и BC — катетами, равными a:

[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]

Теперь, поскольку точка O — это середина диагонали AC, длина AO будет равна половине длины AC:

[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, длина отрезка AO равна (\frac{a\sqrt{2}}{2}).

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадрата. Так как ABCD - квадрат, то все его стороны равны между собой, а также диагонали квадрата равны и перпендикулярны друг другу.

Из условия известно, что сторона AB равна a. Так как ABCD - квадрат, то сторона BC также равна a. Из равенства сторон AC и BD, следует, что треугольники AOB и BOC равнобедренные.

Заметим, что треугольник AOB является прямоугольным, так как диагонали квадрата перпендикулярны между собой. Таким образом, можно применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOB:

AO^2 + OB^2 = AB^2 AO^2 + OB^2 = a^2 AO = √(a^2 - OB^2)

Так как треугольник AOB равнобедренный, то OB = a/2. Подставим это значение в формулу:

AO = √(a^2 - (a/2)^2) AO = √(a^2 - a^2/4) AO = √(3a^2/4) AO = √3a/2

Таким образом, длина отрезка AO равна √3a/2.

Для квадрата ABCD с диагоналями AC и BD, точкой пересечения которых является O, AO равно a/√2.