Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол...

Для решения задачи найдем объем правильной четырехугольной пирамиды, используя данные об апофеме и угле наклона.

1. Определим основные элементы пирамиды:

   • Апофема (a) — это высота боковой грани, равна 8 см.
   • Угол между апофемой и плоскостью основания равен 45°.

2. Найдем высоту пирамиды (h):

   • Апофема образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды и половиной стороны основания. Угол между апофемой и плоскостью основания равен 45°, значит, треугольник равнобедренный.
   • Если обозначить половину стороны основания через x, то из треугольника получаем: (\tan(45^\circ) = \frac{h}{x} = 1). Следовательно, (h = x).

3. Найдем сторону основания (s):

   • В прямоугольном треугольнике с гипотенузой (апофемой) равной 8 см и одним углом 45°: [ \cos(45^\circ) = \frac{x}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} ]
   • Поскольку (x) — это половина стороны основания, полная сторона основания (s = 2x = 8\sqrt{2}).

4. Высота пирамиды (h):

   • Поскольку (h = x), значит, (h = 4\sqrt{2}).

5. Найдем площадь основания (A):

   • Основание пирамиды — квадрат со стороной (s = 8\sqrt{2}): [ A = s^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128 ]

6. Вычислим объем пирамиды (V):

   • Объем пирамиды равен (\frac{1}{3} \times A \times h): [ V = \frac{1}{3} \times 128 \times 4\sqrt{2} = \frac{512\sqrt{2}}{3} \text{ куб. см} ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен (\frac{512\sqrt{2}}{3}) кубических сантиметров.

Для нахождения объема четырехугольной пирамиды необходимо знать ее апофему и площадь основания. Площадь основания пирамиды можно найти, зная длину стороны основания и угол между апофемой и плоскостью основания.

Поскольку у нас дан угол между апофемой и плоскостью основания равный 45 градусов, а длина апофемы равна 8 см, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника для нахождения длины стороны основания.

Так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, можем записать:

tg(45) = h / (s/2),

где h - апофема, s - длина стороны основания.

tg(45) = 8 / (s/2),

1 = 8 / (s/2),

s/2 = 8,

s = 16.

Теперь, когда мы знаем длину стороны основания (s = 16), можем найти площадь основания пирамиды:

S = s^2 = 16^2 = 256 кв.см.

Зная площадь основания и апофему, можем найти объем четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) S h,

V = (1/3) 256 8 = 682.67 куб.см.

Таким образом, объем четырехугольной пирамиды равен 682.67 куб.см.