Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а высота 6 см. Найдите площадь поверхности...

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

S = P + L,

где S - площадь поверхности пирамиды, P - площадь основания, L - площадь боковой поверхности.

Площадь основания пирамиды равна площади квадрата со стороной, равной апофеме, то есть P = 10^2 = 100 см^2.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:

L = (P * l) / 2,

где l - длина бокового ребра. Для нахождения длины бокового ребра воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной диагонали основания и диагональю боковой грани:

l^2 = h^2 + (a/2)^2,

l^2 = 6^2 + (10/2)^2, l^2 = 36 + 25, l^2 = 61, l ≈ 7,81 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

L = (100 * 7,81) / 2 = 390,5 см^2.

Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна:

S = 100 + 390,5 = 490,5 см^2.

Для решения задачи по нахождению площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, у которой известны апофема и высота, следуем следующим шагам:

1. Определим длину стороны основания.

   В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Высота пирамиды (6 см) и апофема (10 см) образуют прямоугольный треугольник вместе с полудиагональю основания. Из этого треугольника можно использовать теорему Пифагора:

   [ a^2 = (a/2)^2 + h^2 ]

   где (a) — сторона основания, (h) — высота пирамиды.

   Однако сначала нужно найти полудиагональ основания. Пусть (d) — диагональ квадрата основания. Тогда полудиагональ (d/2) будет равна:

   [ \text{апофема}^2 = (\text{полудиагональ})^2 + \text{высота}^2 ]

   [ 10^2 = (d/2)^2 + 6^2 ]

   [ 100 = (d/2)^2 + 36 ]

   [ (d/2)^2 = 64 ]

   [ d/2 = 8 ]

   Поскольку диагональ квадрата (d) связана с его стороной (a) как (d = a\sqrt{2}), мы имеем:

   [ a\sqrt{2}/2 = 8 ]

   [ a\sqrt{2} = 16 ]

   [ a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}/2 = 8 ]

   Таким образом, сторона основания (a = 8) см.

2. Вычислим площадь боковой поверхности.

   Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей четырех равнобедренных треугольников, образующих боковые грани. Площадь одного треугольника:

   [ \text{площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{апофему} ]

   [ = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \text{ см}^2 ]

   Поскольку таких треугольников четыре, площадь боковой поверхности:

   [ 4 \times 40 = 160 \text{ см}^2 ]

3. Вычислим площадь основания.

   Площадь квадрата со стороной (a = 8):

   [ \text{площадь основания} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 ]

4. Сложим площади основания и боковой поверхности.

   Общая площадь поверхности пирамиды:

   [ 160 + 64 = 224 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 224 квадратных сантиметра.

Площадь поверхности пирамиды равна 180 кв. см.