Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а радиус окружности, вписанной в её основание равен...

Для начала, давайте разберёмся с понятиями и данными, которые у нас есть.

1. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды на середину стороны основания. В данном случае апофема равна 6 см.

2. Радиус окружности, вписанной в основание — это расстояние от центра треугольника до середины его стороны. В данном случае этот радиус равен (\sqrt{3}) см.

Основание пирамиды — это правильный треугольник, у которого все стороны равны. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, определяется формулой:

[ r = \frac{s \cdot \sqrt{3}}{6} ]

где ( s ) — сторона правильного треугольника.

Подставим наш радиус (\sqrt{3}):

[ \sqrt{3} = \frac{s \cdot \sqrt{3}}{6} ]

Умножим обе части на 6:

[ 6\sqrt{3} = s\sqrt{3} ]

Разделим обе части на (\sqrt{3}):

[ s = 6 ]

Теперь мы знаем, что сторона основания ( s ) равна 6 см.

Следующий шаг — найти высоту боковой грани, то есть апофему пирамиды. В правильной треугольной пирамиде апофема делит боковую грань на два прямоугольных треугольника. В одном из этих треугольников гипотенуза — это боковая грань пирамиды, один катет — апофема, а другой катет — половина стороны основания.

Катет, равный половине стороны основания:

[ \frac{s}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} ]

Используем теорему Пифагора для нахождения боковой грани (гипотенузы):

[ l = \sqrt{(апофема)^2 + (\frac{s}{2})^2} ]

[ l = \sqrt{6^2 + 3^2} ]

[ l = \sqrt{36 + 9} ]

[ l = \sqrt{45} ]

[ l = 3\sqrt{5} \text{ см} ]

Теперь мы знаем длину боковой грани ( l = 3\sqrt{5} \text{ см} ).

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх равнобедренных треугольников. Площадь одного из этих треугольников можно найти, используя формулу площади треугольника:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times основание \times высота ]

Основание боковой грани — это сторона основания пирамиды ( s = 6 \text{ см} ), а высота боковой грани — апофема ( 6 \text{ см} ).

Площадь одного треугольника:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \text{ см}^2 ]

Так как у нас три таких треугольника, общая боковая поверхность пирамиды будет равна:

[ 3 \times 18 = 54 \text{ см}^2 ]

Таким образом, боковая поверхность правильной треугольной пирамиды составляет ( 54 \text{ см}^2 ).

Боковая поверхность пирамиды равна 18 кв.см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления боковой поверхности правильной треугольной пирамиды: S = (1/2) П a * l, где S - боковая поверхность пирамиды, П - периметр основания, a - апофема пирамиды, l - высота боковой грани.

Для начала найдем периметр основания пирамиды. Так как у нас правильный треугольник, то периметр будет равен 3 сторона треугольника: П = 3 a.

Теперь вычислим высоту боковой грани пирамиды с помощью теоремы Пифагора: h = √(l^2 - (a/2)^2), где h - высота боковой грани.

Зная высоту боковой грани, можем вычислить боковую поверхность пирамиды: S = (1/2) П a * h.

Подставляем известные значения и получаем: П = 3 * 6 = 18 см, h = √((6)^2 - ((√3)/2)^2) = √(36 - 3/4) = √(35.25) = 5.93 см.

И, наконец, S = (1/2) 18 6 * 5.93 = 32.22 см^2.

Таким образом, боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 32.22 квадратных сантиметра.