Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:7,считая от вершины...

Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим стороны параллелограмма. Пусть стороны параллелограмма равны ( a ) и ( b ). Параллелограмм имеет два одинаковых угла: острый угол ( \alpha ) и тупой угол ( \beta ).

Согласно условию задачи, биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 3:7, считая от вершины острого угла. Это значит, что если обозначить точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной как ( D ), а вершину острого угла как ( A ), то:

[ \frac{AD}{DB} = \frac{3}{7} ]

Обозначим длину отрезка ( AD = 3k ) и ( DB = 7k ). Тогда длина стороны ( AB ) (противоположной стороне) будет равна:

[ AB = AD + DB = 3k + 7k = 10k ]

Теперь мы знаем, что ( AB = 10k ).

Согласно теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые делит сторона биссектрисы, равно отношению прилежащих сторон. Поскольку ( AD ) и ( DB ) относятся к сторонам ( a ) и ( b ):

[ \frac{AD}{DB} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{3}{7} = \frac{a}{b} ]

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

[ a = \frac{3}{7}b ]

Теперь, зная, что периметр параллелограмма равен 117, можем записать уравнение:

[ 2a + 2b = 117 \Rightarrow a + b = 58.5 ]

Подставим ( a = \frac{3}{7}b ) в уравнение периметра:

[ \frac{3}{7}b + b = 58.5 ]

Объединим дроби:

[ \frac{3 + 7}{7}b = 58.5 \Rightarrow \frac{10}{7}b = 58.5 ]

Теперь умножим обе стороны на ( \frac{7}{10} ):

[ b = 58.5 \cdot \frac{7}{10} = 40.95 ]

Теперь можем найти ( a ):

[ a = \frac{3}{7}b = \frac{3}{7} \cdot 40.95 \approx 17.55 ]

Таким образом, стороны параллелограмма равны примерно ( a \approx 17.55 ) и ( b \approx 40.95 ).

Большая сторона параллелограмма:

[ b \approx 40.95 ]

Таким образом, большая сторона параллелограмма равна примерно 40.95 (или 41, если округлить).

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Параллелограмм ( ABCD ) с тупым углом.
2. Биссектриса тупого угла ( \angle DAB ) делит противоположную сторону ( BC ) в отношении ( 3:7 ) (считая от вершины острого угла ( B )).
3. Периметр параллелограмма равен ( P = 117 ).

Найти:

Большую сторону параллелограмма.

Решение:

1. Обозначим стороны параллелограмма

Пусть:

• ( AB = CD = a ) (одна пара противоположных сторон),
• ( AD = BC = b ) (другая пара противоположных сторон).

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2a + 2b. ] Подставим значение периметра: [ 2a + 2b = 117. ] Разделим уравнение на 2: [ a + b = 58.5. \tag{1} ]

2. Используем свойство биссектрисы

Биссектриса тупого угла ( \angle DAB ) пересекает сторону ( BC ) в точке ( E ) и делит её в отношении ( 3:7 ): [ \frac{BE}{EC} = \frac{3}{7}. ]

Так как биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон, то: [ \frac{AD}{AB} = \frac{BE}{EC}. ] Подставляем отношение ( \frac{BE}{EC} = \frac{3}{7} ): [ \frac{b}{a} = \frac{3}{7}. ]

Разрешим это уравнение для ( b ) через ( a ): [ b = \frac{3}{7}a. \tag{2} ]

3. Подставим ( b = \frac{3}{7}a ) в уравнение (1)

Подставим ( b ) в уравнение ( a + b = 58.5 ): [ a + \frac{3}{7}a = 58.5. ] Приведём к общему знаменателю: [ \frac{7a}{7} + \frac{3a}{7} = 58.5. ] [ \frac{10a}{7} = 58.5. ] Умножим обе части на 7: [ 10a = 409.5. ] Разделим на 10: [ a = 40.95. ]

4. Найдём ( b )

Подставим ( a = 40.95 ) в уравнение ( b = \frac{3}{7}a ): [ b = \frac{3}{7} \cdot 40.95. ] [ b = 17.55. ]

5. Найдём большую сторону

В параллелограмме большая сторона — это ( a ), так как ( a > b ). Следовательно: [ \text{Большая сторона } = 40.95. ]

Ответ:

Большая сторона параллелограмма равна ( 40.95 ).