Биссектриса угла А паралелограма ABCD делит сторону CD в отношении 1:3 к вершине С, найти стороны, если...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством биссектрисы угла параллелограмма.

Пусть биссектриса угла А делит сторону CD в отношении 1:3 к вершине С. Пусть длина стороны CD равна x, тогда AC = 3x и AD = x.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = x и BC = AD = x.

Из условия задачи мы знаем, что периметр параллелограмма ABCD равен 84 см. Тогда периметр равен:

AB + BC + CD + DA = 84 x + x + 3x + x = 84 6x = 84 x = 14

Таким образом, стороны параллелограмма ABCD равны: AB = CD = x = 14 см BC = AD = x = 14 см AC = 3x = 42 см DA = x = 14 см

Ответ: стороны параллелограмма ABCD равны AB = CD = 14 см, BC = AD = 14 см, AC = 42 см, DA = 14 см.

Конечно, давайте развернуто разберем данную задачу.

1. Постановка задачи:

   • У нас есть параллелограмм ABCD.
   • Биссектриса угла A делит сторону CD в отношении 1:3 к вершине С.
   • Необходимо найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 84 см.

2. Обозначения:

   • Обозначим стороны параллелограмма: AB = a и AD = b.
   • Поскольку периметр параллелограмма равен 84 см, у нас есть следующее уравнение: [ 2(a + b) = 84 \implies a + b = 42. ]

3. Использование свойства биссектрисы:

   • Пусть точка пересечения биссектрисы угла A со стороной CD — это точка E.
   • По условию, CE:ED = 1:3. Это значит, что длина CE составляет одну часть, а длина ED — три части.
   • Следовательно, длина CD разбивается на 4 равные части, и каждую часть можно обозначить как x. [ CD = 4x. ]
   • Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны равны, то CD = AB = a. Таким образом, [ a = 4x. ]

4. Использование теоремы о биссектрисе:

   • По теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению прилежащих сторон: [ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{CE}. ]
   • Подставляя известные отношения и наши обозначения: [ \frac{b}{a} = \frac{3x}{x} = 3. ]
   • Таким образом, мы получаем, что [ b = 3a. ]

5. Решение системы уравнений:

   • У нас есть два уравнения: [ a + b = 42, ] [ b = 3a. ]
   • Подставляя второе уравнение в первое: [ a + 3a = 42 \implies 4a = 42 \implies a = 10.5 \text{ см}. ]
   • Теперь найдем b: [ b = 3a = 3 \cdot 10.5 = 31.5 \text{ см}. ]

6. Вывод:

   • Стороны параллелограмма ABCD равны: [ AB = a = 10.5 \text{ см}, ] [ AD = b = 31.5 \text{ см}. ]
   • Проверим периметр: [ 2(a + b) = 2(10.5 + 31.5) = 2 \cdot 42 = 84 \text{ см}. ]
   • Все условия задачи выполнены.

Таким образом, стороны параллелограмма ABCD равны 10.5 см и 31.5 см.