Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N лежащей на стороне CD докажите что N середина CD
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N лежащей на стороне CD докажите что N середина CD
Чтобы доказать, что точка N, в которой пересекаются биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD и которая лежит на стороне CD, есть середина CD, можно воспользоваться следующими геометрическими соображениями:
Свойства параллелограмма и биссектрисы угла: В параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Биссектриса угла делит угол пополам.
Свойства биссектрис в параллелограмме: Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке N. Так как ABCD - параллелограмм, то углы A и B равны (поскольку они являются смежными углами, образованными при пересечении параллельных сторон AB и CD с секущей AD). Биссектрисы углов A и B делят эти углы пополам, следовательно, они образуют равные углы с соответствующими сторонами параллелограмма.
Основное рассуждение: Так как точка N лежит на стороне CD и является точкой пересечения биссектрис углов A и B, это означает, что N также делит сторону CD на две равные части. Это связано с тем, что биссектрисы углов A и B образуют равные углы с противоположными сторонами AD и BC (которые в параллелограмме параллельны и равны). Если бы точка N не делила CD поровну, то углы, образованные секущей AD и сторонами параллелограмма, не были бы равны, что противоречит свойствам биссектрисы.
Заключение: Исходя из равенства углов и того, что биссектрисы делят противоположные углы пополам, следует, что N должна лежать на середине CD, чтобы сохранялось равенство углов и равные расстояния от N до концов отрезка CD. Таким образом, N - середина CD.
Такое рассуждение позволяет утверждать, что точка N действительно является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.
Для доказательства того, что точка N является серединой стороны CD параллелограмма ABCD, рассмотрим следующие утверждения:
Пусть M - точка пересечения биссектрис углов A и B. Тогда по определению биссектрисы, угол MAN равен углу NAM, а угол MBN равен углу NBM.
Так как угол A равен углу C (по свойствам параллелограмма), то угол MAN равен углу C и угол NBM равен углу D.
Из пункта 1 следует, что треугольники MAN и MBN равны по двум углам и общей стороне (MN), следовательно, они равны по третьей стороне (MA = MB).
Так как MA = MB, то отрезок MN является медианой треугольника AMB, а следовательно, точка N является серединой стороны CD.
Таким образом, точка N действительно является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.
