Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 16 см2, а полная поверхность-48 см2. Найдите...

Для решения задачи нам нужно разобраться с геометрией правильной четырёхугольной призмы. Правильная четырёхугольная призма имеет в основании квадрат, и её боковые грани — прямоугольники.

Даны:

• Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 16 \, \text{см}^2 )
• Площадь полной поверхности ( S_{\text{полн}} = 48 \, \text{см}^2 )

Площадь боковой поверхности призмы состоит из 4 боковых граней, каждая из которых представляет собой прямоугольник. Если ( a ) — сторона основания (квадрата), а ( h ) — высота призмы, то площадь боковой поверхности задается как:

[ S_{\text{бок}} = 4ah ]

Из этого выражения можно выразить высоту ( h ):

[ 4ah = 16 ]

Теперь рассмотрим полную поверхность призмы. Она состоит из боковой поверхности и двух оснований, каждое из которых — квадрат со стороной ( a ). Площадь основания равна ( a^2 ), а площадь двух оснований — ( 2a^2 ). Полная поверхность выражается как:

[ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + 2a^2 = 48 ]

Подставим значение боковой поверхности:

[ 16 + 2a^2 = 48 ]

Решим это уравнение относительно ( a^2 ):

[ 2a^2 = 48 - 16 ]

[ 2a^2 = 32 ]

[ a^2 = 16 ]

[ a = 4 ]

Теперь, зная ( a ), вернёмся к выражению для боковой поверхности:

[ 4ah = 16 ]

Подставим ( a = 4 ):

[ 4 \cdot 4 \cdot h = 16 ]

[ 16h = 16 ]

[ h = 1 ]

Таким образом, высота призмы равна 1 см.

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулы для нахождения площадей боковой поверхности и полной поверхности правильной четырехугольной призмы.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле: Sб = p * h, где Sб - площадь боковой поверхности, p - периметр основания, h - высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: Sп = Sб + 2 * Sосн, где Sп - площадь полной поверхности, Sосн - площадь основания призмы.

Из условия задачи у нас известно, что Sб = 16 см2 и Sп = 48 см2.

Так как призма имеет четырехугольное основание, то периметр основания равен 4 * a, где а - длина стороны основания.

Из уравнения Sб = p h получаем: 16 = 4 a h, a h = 4.

Также из уравнения Sп = Sб + 2 Sосн получаем: 48 = 16 + 2 Sосн, Sосн = 16.

Так как основание призмы - четырехугольник, то его площадь можно найти, разбив его на два треугольника и прямоугольник. Площадь треугольника равна 0.5 a h, где а - длина стороны основания, h - высота призмы. Площадь прямоугольника равна a h. Из условия Sосн = 16 получаем: 16 = 0.5 a h + 0.5 a h + a h, 16 = 2 a h + a h, 16 = 3 a h, a h = 16 / 3.

Из уравнения a h = 4 и a h = 16 / 3 получаем: 4 = 16 / 3, 3 * 4 = 16, 12 = 16, h = 4 / 3.

Таким образом, высота призмы равна 4 / 3 см.