Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 27 корней из 3 , а полная поверхность 36 корней...

Для правильной треугольной призмы боковая поверхность равна полупериметру основания, умноженному на высоту призмы. Полная поверхность призмы равна сумме площади основания и боковой поверхности, то есть равна полупериметру основания, умноженному на высоту призмы, плюс удвоенной площади основания.

Пусть сторона основания треугольника равна а, тогда боковая поверхность равна 3aH/2 = 27√3, где H - высота призмы. Полупериметр основания равен 3a/2, а площадь основания равна (a^2 √3) / 4.

Тогда, полная поверхность призмы равна (3a H / 2) + 2 (a^2 √3) / 4 = 36√3. Учитывая, что боковая поверхность равна 27√3, получаем: 27√3 + 2 (a^2 * √3) / 4 = 36√3, 27 + a^2 / 2 = 36, a^2 / 2 = 9, a^2 = 18, a = √18 = 3√2.

Таким образом, сторона основания равна 3√2. Для нахождения высоты призмы выразим ее из формулы для боковой поверхности: 3 3√2 H / 2 = 27√3, 9√2 H / 2 = 27√3, 4.5√2 H = 27√3, H = 27√3 / 4.5√2, H = 6.

Ответ: высота призмы равна 6.

Для решения задачи о нахождении высоты правильной треугольной призмы, давайте рассмотрим все необходимые элементы и шаги.

1. Понимание условий задачи:

   • Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна ( 27 \sqrt{3} ).
   • Полная поверхность призмы равна ( 36 \sqrt{3} ).

2. Обозначим неизвестные и известные величины:

   • Пусть ( h ) — высота призмы.
   • Пусть ( a ) — сторона основания правильного треугольника (основания призмы).

3. Формулы для поверхностей:

   • В правильной треугольной призме боковая поверхность состоит из трёх прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника равна ( a \cdot h ), где ( a ) — сторона основания, а ( h ) — высота призмы.
   • Суммарная боковая поверхность будет равна ( 3ah ).

   Из условия задачи: ( 3ah = 27 \sqrt{3} ).

4. Площадь основания:

   • Площадь одного правильного треугольника можно найти по формуле: [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]
   • Полная поверхность призмы включает две площади оснований и боковую поверхность: [ S{\text{полн}} = 2S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} ]
   • Подставим значения из условия задачи: [ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + 27 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} ]
   • Упростим выражение: [ \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + 27 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = 36 \sqrt{3} - 27 \sqrt{3} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = 9 \sqrt{3} ] [ a^2 = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} ] [ a^2 = 18 ] [ a = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} ]

5. Нахождение высоты:

   • Подставим найденное значение ( a ) в уравнение для боковой поверхности: [ 3ah = 27 \sqrt{3} ] [ 3 \cdot (3 \sqrt{2}) \cdot h = 27 \sqrt{3} ] [ 9 \sqrt{2} \cdot h = 27 \sqrt{3} ] [ h = \frac{27 \sqrt{3}}{9 \sqrt{2}} ] [ h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} ] [ h = 3 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} ] [ h = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} ] [ h = \frac{3 \sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, высота правильной треугольной призмы равна ( \frac{3 \sqrt{6}}{2} ).