Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной...

Обозначим равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AB = 6 ) и боковыми сторонами ( AC ) и ( BC ), которые равны между собой. Пусть точка касания вписанной окружности с боковой стороной ( AC ) обозначается как ( D ). По условию, отрезок ( AD ) и ( DC ) делятся в отношении ( 4:3 ).

Согласно этому соотношению, можно обозначить длину отрезка ( AD ) как ( 4k ) и длину отрезка ( DC ) как ( 3k ) для некоторого положительного числа ( k ). Тогда длина боковой стороны ( AC ) будет равна:

[ AC = AD + DC = 4k + 3k = 7k. ]

Аналогично, так как треугольник равнобедренный, боковая сторона ( BC ) будет также равна ( 7k ).

Теперь найдем длины отрезков, касающихся основания. Вписанная окружность делит основание ( AB ) на два отрезка, которые равны ( s - a ) и ( s - b ), где ( s ) — полупериметр треугольника, а ( a ) и ( b ) — длины боковых сторон.

Полупериметр ( s ) равен:

[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{6 + 7k + 7k}{2} = \frac{6 + 14k}{2} = 3 + 7k. ]

Поскольку треугольник равнобедренный, отрезки, на которые основание делится вписанной окружностью, равны:

[ s - AC = s - 7k = (3 + 7k) - 7k = 3, ] [ s - BC = s - 7k = (3 + 7k) - 7k = 3. ]

Таким образом, мы можем записать:

[ s - a = 3 \quad (где \, a = AC = 7k), ] [ s - b = 3 \quad (где \, b = BC = 7k). ]

Так как ( AD ) и ( DC ) делятся в отношении ( 4:3 ), можно установить следующее равенство:

[ AD = s - b = 3, \quad DC = s - a = 3. ]

Теперь мы можем выразить ( k ):

[ s - 7k = 3 \Rightarrow 3 + 7k - 7k = 3. ]

Теперь мы имеем:

[ AD = 4k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{4}. ]

Теперь подставим ( k ) обратно в выражение для боковых сторон:

[ AC = 7k = 7 \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{4}, \quad BC = 7k = 7 \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{4}. ]

Теперь мы можем найти периметр ( P ) треугольника:

[ P = AB + AC + BC = 6 + \frac{21}{4} + \frac{21}{4} = 6 + \frac{42}{4} = 6 + 10.5 = 16.5. ]

Таким образом, периметр равнобедренного треугольника ( ABC ) равен ( 16.5 ).

Для решения задачи нам нужно использовать свойства вписанной окружности, а также геометрические соотношения в треугольнике. Рассмотрим задачу пошагово.

1. Ввод данных и обозначения.

• У нас есть равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ), где ( AB = AC ) — боковые стороны, а ( BC = 6 ) — основание.
• Вписанная окружность касается сторон ( AB, BC, AC ) в точках ( F, D, E ) соответственно.
• Из условия известно, что точка касания ( F ) делит боковую сторону ( AB ) в отношении ( 4:3 ), считая от вершины ( A ).

Обозначим:

• ( AB = AC = x ) — длина боковых сторон.
• ( AF = 4k ), ( FB = 3k ), где ( k ) — некоторое положительное число.

2. Свойство вписанной окружности: разбиение сторон.

Свойство вписанной окружности: точка касания делит стороны треугольника на отрезки, равные полуразности периметра и противоположной стороны. Это означает:

• ( AF = AE ), ( BD = BF ), ( CE = CD ).

Итак:

• ( AF = AE = 4k ),
• ( FB = BD = 3k ),
• ( CE = CD ).

3. Выражение полупериметра.

Полупериметр треугольника равен: [ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{x + x + 6}{2} = x + 3. ]

4. Используем разбиение сторон.

Согласно свойству вписанной окружности, длины отрезков, на которые точка касания делит стороны, равны разности полупериметра и противоположной стороны:

• ( AF = p - BC ),
• ( BD = p - AC ),
• ( CD = p - AB ).

Подставим известные значения:

1. ( AF = p - BC = x + 3 - 6 = x - 3 ).
2. ( BD = p - AC = x + 3 - x = 3 ).
3. ( CD = p - AB = x + 3 - x = 3 ).

5. Соотношение для ( AF ).

По условию задачи, ( AF = 4k ), а мы уже нашли, что ( AF = x - 3 ). Приравняем: [ x - 3 = 4k. ]

6. Соотношение для ( FB ).

Также по условию, ( FB = 3k ), а мы знаем, что ( FB = BD = 3 ). Приравняем: [ 3k = 3. ]

Отсюда ( k = 1 ).

7. Найдём ( x ).

Подставим ( k = 1 ) в уравнение ( x - 3 = 4k ): [ x - 3 = 4 \cdot 1. ] [ x = 7. ]

Итак, длина боковой стороны равна ( AB = AC = 7 ).

8. Найдём периметр.

Периметр треугольника равен: [ P = AB + AC + BC = 7 + 7 + 6 = 20. ]

Ответ:

Периметр треугольника равен ( \boxed{20} ).