Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а)Найдите высоту пирамиды.
б)Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а)Найдите высоту пирамиды.
б)Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для решения задачи рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду, у которой боковое ребро равно 8 см и образует угол 45° с плоскостью основания.
а) Найдем высоту пирамиды.
Пусть вершина пирамиды — точка ( V ), а основание — квадрат ( ABCD ) с центром ( O ). Поскольку пирамида правильная, высота пирамиды ( VO ) будет перпендикулярна плоскости основания и пересекать её в центре ( O ).
Боковое ребро ( VA ) образует угол 45° с плоскостью основания. Рассмотрим треугольник ( VAO ). Известно, что ( \angle VAO = 45^\circ ) и ( VA = 8 \, \text{см} ).
Используем тригонометрическое соотношение для определения высоты ( VO ): [ \cos(45^\circ) = \frac{VO}{VA} ] Подставим известные значения: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{VO}{8} ] Отсюда высота ( VO ) равна: [ VO = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см} ]
б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника, например ( \triangle VAB ), можно найти через его основание и высоту.
Основание треугольника ( AB ) равно стороне квадрата ( ABCD ). Поскольку высота ( VO ) делит треугольник ( \triangle VAB ) пополам, то точка ( O ) является серединой диагонали ( AC ).
Для нахождения стороны квадрата сначала найдём ( AO ) в треугольнике ( VAO ). Пользуемся соотношением: [ \sin(45^\circ) = \frac{AO}{VA} ] Подставим значения: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AO}{8} ] Отсюда: [ AO = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см} ]
Теперь, найдём ( AB ), используя тот факт, что ( AO ) — половина диагонали квадрата: [ AC = 2 \cdot AO = 8\sqrt{2} \, \text{см} ] Сторона квадрата равна: [ AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \, \text{см} ]
Теперь найдём площадь одного бокового треугольника ( \triangle VAB ): Площадь ( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h ), где ( h ) — высота треугольника ( \triangle VAB ) от вершины ( V ) до основания ( AB ). В данном случае это высота пирамиды ( VO ).
Следовательно, площадь одного бокового треугольника: [ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{см}^2 ]
Общая площадь боковой поверхности: [ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{\triangle} = 4 \cdot 16\sqrt{2} = 64\sqrt{2} \, \text{см}^2 ]
Таким образом, высота пирамиды составляет ( 4\sqrt{2} \, \text{см} ), а площадь боковой поверхности равна ( 64\sqrt{2} \, \text{см}^2 ).
а) Высота пирамиды равна (4\sqrt{2}) см.
б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна (32\sqrt{2}) кв. см.
a) Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, её высотой и половиной длины основания. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то получаем, что катет при угле 45° равен половине длины бокового ребра, то есть 4 см. Тогда по теореме Пифагора высота пирамиды равна ( h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ) см.
б) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды воспользуемся формулой ( S = \frac{1}{2}pl ), где ( p ) - периметр основания, ( l ) - длина бокового ребра. Так как пирамида правильная, то периметр основания равен ( p = 4 \cdot 8 = 32 ) см. Тогда площадь боковой поверхности равна ( S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 8 = 128 ) см².
