Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см,а диагональ боковой грани равна 15 см. Найти...

Для начала разберемся с основными элементами задачи:

1. Боковое ребро призмы равно 9 см. Это значит, что высота призмы (расстояние между двумя равными основаниями) также равна 9 см.

2. Диагональ боковой грани призмы равна 15 см. Боковая грань правильной треугольной призмы представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна боковому ребру (высоте), а другая — стороне основания треугольника.

Для начала найдем сторону основания треугольника. Известно, что диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора:

[ c^2 = a^2 + b^2 ] где ( c ) — диагональ, ( a ) и ( b ) — стороны прямоугольника. В нашем случае ( c = 15 ) см и ( a = 9 ) см (высота призмы). Тогда: [ 15^2 = 9^2 + b^2 ] [ 225 = 81 + b^2 ] [ b^2 = 144 ] [ b = 12 ] см

Таким образом, сторона основания треугольника равна 12 см.

Теперь найдем площади:

Площадь боковой поверхности. Правильная треугольная призма имеет три боковые грани, каждая из которых является прямоугольником со сторонами 9 см и 12 см: [ S_{бок} = 3 \times 9 \times 12 = 324 ] см²

Площадь основания призмы можно найти, используя формулу площади правильного треугольника: [ S{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 ] где ( s ) — сторона треугольника, ( s = 12 ) см: [ S{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} ] см²

Так как у призмы два основания: [ S_{основ} = 2 \times 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3} ] см²

Полная площадь поверхности призмы — это сумма площадей боковой поверхности и двух оснований: [ S{полн} = S{бок} + S_{основ} = 324 + 72\sqrt{3} ] см²

Так и получаем ответы на задачу:

• Площадь боковой поверхности: 324 см²
• Полная площадь поверхности: ( 324 + 72\sqrt{3} ) см²

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной призмы мы можем воспользоваться формулой:

Sб = П * h,

где Sб - площадь боковой поверхности, П - периметр основания, h - высота боковой грани.

Поскольку у нас правильная треугольная призма, периметр основания равен 3 * сторона треугольника.

Также мы знаем, что диагональ боковой грани равна 15 см. По теореме Пифагора можем найти высоту боковой грани:

h = √(15^2 - 9^2) = √(225 - 81) = √144 = 12 см.

Теперь можем найти периметр основания:

П = 3 * 9 = 27 см.

И, наконец, площадь боковой поверхности:

Sб = 27 * 12 = 324 см^2.

Для нахождения полной поверхности призмы нам нужно также найти площадь основания. Поскольку у нас треугольное основание, площадь можно найти по формуле:

Sосн = (сторона^2 * √3) / 4.

Для этого нам нужно найти сторону треугольника. Мы можем воспользоваться тем фактом, что диагональ боковой грани правильной треугольника делит его сторону пополам. Таким образом, сторона треугольника равна 15 / 2 = 7.5 см.

Теперь можем найти площадь основания:

Sосн = (7.5^2 √3) / 4 = (56.25 1.732) / 4 = 97.43 см^2.

И, наконец, полная поверхность призмы:

Sп = Sб + 2 Sосн = 324 + 2 97.43 = 518.86 см^2.

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 324 см^2, а площадь полной поверхности - 518.86 см^2.