Боковые стороны трапеции равны 7 и 12 см.Найти периметр, если в трапецию можно вписать окружность. Объясните,...

Для начала, давайте вспомним, что трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон (основания) параллельна, а другая — нет. В данном случае, у нас есть трапеция, боковые стороны которой равны 7 см и 12 см, и мы знаем, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Когда в четырехугольник можно вписать окружность, он называется вписанным. Для вписанного четырехугольника справедливо следующее утверждение: сумма длин противоположных сторон равна. В нашем случае это будет выглядеть так:

( AB + CD = AD + BC ),

где ( AB ) и ( CD ) — основания трапеции, а ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны. Обозначим длины оснований как ( a = AB ) и ( b = CD ). В нашем случае боковые стороны равны 7 см и 12 см, обозначим их как ( AD = 7 ) см и ( BC = 12 ) см.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, мы можем записать:

( a + b = 7 + 12 = 19 ).

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, воспользуемся формулой для периметра:

( P = AB + BC + CD + AD = a + b + 7 + 12 ).

Однако, поскольку ( a + b = 19 ), мы можем выразить периметр как:

( P = (a + b) + (AD + BC) = 19 + 19 = 38 ) см.

Таким образом, периметр трапеции равен 38 см.

Теперь о формуле ( P = (AB + CD) \times 2 ). Эта формула действительно может показаться устойчивым выражением, но она вытекает из свойства вписанных четырехугольников. Как мы видели, для любого вписанного четырехугольника сумма длин противоположных сторон равна. Если мы обозначим сумму оснований как ( S = AB + CD ), то получится:

( P = S + (AD + BC) = S + S = 2S ).

Таким образом, если в трапеции можно вписать окружность, периметр можно выразить через основания, как ( P = 2 \times (AB + CD) ).

Подводя итог, мы нашли, что периметр данной трапеции равен 38 см, и объяснили, как получается формула для периметра вписанного четырехугольника.

Добрый день! Разберем ваш вопрос подробно.

Вы задали задачу с трапецией, в которую можно вписать окружность, и спрашиваете о периметре и формуле ( P = (AB + CD) \times 2 ). Давайте разберемся в логике, из чего это следует и почему так.

Условие

У нас есть трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Требуется найти периметр ( P ).

Свойство трапеции с вписанной окружностью

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы её противоположных сторон были равны:

[ AB + CD = AD + BC ]

Это свойство вытекает из того, что окружность касается всех сторон трапеции, а длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Если обозначить точки касания окружности с каждой стороной трапеции через ( K, L, M, N ), то:

[ AK = AN, \, BK = BL, \, CM = CL, \, DM = DN ]

Сложив равенства, получаем:

[ AB + CD = AD + BC ]

Поиск основания

Пусть основания трапеции — ( AB ) и ( CD ), а боковые стороны — ( AD = 7 ) и ( BC = 12 ). Тогда, зная, что ( AB + CD = AD + BC ), можем выразить:

[ AB + CD = 7 + 12 = 19 ]

Периметр трапеции

Периметр ( P ) — это сумма всех сторон трапеции:

[ P = AB + CD + AD + BC ]

Но, как мы выяснили, ( AB + CD = AD + BC ). Подставляем:

[ P = 2 \cdot (AB + CD) ]

То есть формула ( P = (AB + CD) \cdot 2 ) действительно работает, но она не «устойчивое выражение», а вытекает из условия равенства противоположных сторон ( AB + CD = AD + BC ).

Подстановка значений

Из условия ( AB + CD = 19 ), тогда периметр:

[ P = 2 \cdot 19 = 38 \, \text{см.} ]

Ответ

Периметр трапеции равен ( 38 \, \text{см} ).

Всем добра!

Формула ( P = (AB + CD) \cdot 2 ) не просто «устойчивое выражение», а непосредственно следует из свойства трапеции, в которую можно вписать окружность — равенства сумм противоположных сторон.