Чему равна полная площадь поверхности цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, все...

Для решения данной задачи нам необходимо найти площади боковой поверхности цилиндра и двух оснований.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра: Боковая поверхность цилиндра является прямоугольником, высота которого равна высоте призмы (равной "а") и периметр основания цилиндра равен периметру основания призмы (равному 3а, так как у правильной треугольной призмы периметр равен сумме длин всех ее сторон). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра будет равна периметру основания умноженному на высоту: Sбок = 3а * а = 3а^2.

2. Площадь двух оснований цилиндра: Основание цилиндра является правильным треугольником, поэтому его площадь можно найти по формуле S = √3/4 a^2. Для двух оснований площадь будет равна 2 √3/4 a^2 = √3 a^2.

Итак, полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований: Sполн = Sбок + 2Sосн = 3а^2 + √3 a^2 = 3а^2 + √3 a^2 = (3 + √3) * a^2.

Для начала рассмотрим правильную треугольную призму, все ребра которой равны ( a ). Это означает, что основанием призмы является правильный треугольник со стороной ( a ).

1. Определим радиус описанной окружности:
   Для правильного треугольника радиус описанной окружности ( R ) выражается через сторону треугольника как: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

2. Высота призмы:
   Поскольку все ребра призмы равны ( a ), высота ( h ) также равна ( a ).

3. Полная площадь поверхности цилиндра:
   Цилиндр, описанный около призмы, имеет радиус основания ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ) и высоту ( h = a ).

   Полная площадь поверхности цилиндра ( S ) включает две составляющие: боковую поверхность и две основания.

   • Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 2 \pi R h = 2 \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) a = \frac{2 \pi a^2}{\sqrt{3}} ]

   • Площадь двух оснований: Площадь одного круга (основания цилиндра) равна ( \pi R^2 ): [ S{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{3} ] Площадь двух оснований: [ 2 \cdot S{\text{осн}} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{3} = \frac{2\pi a^2}{3} ]

   • Полная площадь поверхности цилиндра: [ S = S{\text{бок}} + 2 \cdot S{\text{осн}} = \frac{2 \pi a^2}{\sqrt{3}} + \frac{2 \pi a^2}{3} ]

   Приведем к общему знаменателю: [ S = \frac{2 \pi a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \pi a^2}{3} ]

   [ S = \frac{2 \pi a^2 (\sqrt{3} + 1)}{3} ]

Таким образом, полная площадь поверхности цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы с ребрами длины ( a ), равна: [ S = \frac{2 \pi a^2 (\sqrt{3} + 1)}{3} ]