Центральный угол окружности длиной 30 пи см равен 84 градуса. найдите: а) длину дуги на которую опирается...

Чтобы решить эту задачу, сначала определим, что мы имеем. Нам дана окружность с длиной 30π см и центральный угол, равный 84 градусам. Необходимо найти:

а) Длину дуги, на которую опирается этот угол.

б) Площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Шаг 1: Найдите радиус окружности

Длина окружности ( L ) выражается формулой:

[ L = 2\pi R ]

Где ( R ) — радиус окружности. Подставим данное значение длины окружности:

[ 30\pi = 2\pi R ]

Если сократить (\pi) и решить уравнение для ( R ), получим:

[ R = 15 \text{ см} ]

Шаг 2: Найдите длину дуги

Формула для нахождения длины дуги ( l ), на которую опирается центральный угол ( \theta ) (в градусах), следующая:

[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R ]

Подставим известные значения:

[ l = \frac{84}{360} \times 2\pi \times 15 ]

Упростим выражение:

[ l = \frac{84}{360} \times 30\pi ]

[ l = \frac{7}{30} \times 30\pi ]

[ l = 7\pi \text{ см} ]

Шаг 3: Найдите площадь сектора

Площадь сектора ( A ) вычисляется по формуле:

[ A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 ]

Подставим значения:

[ A = \frac{84}{360} \times \pi \times 15^2 ]

Упростим выражение:

[ A = \frac{84}{360} \times \pi \times 225 ]

[ A = \frac{7}{30} \times 225\pi ]

[ A = 52.5\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, длина дуги составляет ( 7\pi ) см, а площадь сектора — ( 52.5\pi ) квадратных сантиметров.

а) Длина дуги, на которую опирается центральный угол, равна 14 пи см. б) Площадь сектора, ограниченного этой дугой, равна 420 кв. см.

а) Для нахождения длины дуги, на которую опирается центральный угол, воспользуемся формулой: (L = \frac{n}{360} \times 2\pi r), где (L) - длина дуги, (n) - мера центрального угла в градусах, (r) - радиус окружности. Подставляем известные значения: (L = \frac{84}{360} \times 2\pi \times \frac{30\pi}{2} = 14\pi) см.

б) Площадь сектора, ограниченного данной дугой, можно найти по формуле: (S = \frac{n}{360} \times \pi r^2), где (S) - площадь сектора. Подставляем значения: (S = \frac{84}{360} \times \pi \times (\frac{30\pi}{2})^2 = 630\pi) см².