Через диагональ BD квадрата ABCD со стороной (альфа) проведена плоскость (бета), перпендикулярна плоскости...

Рассмотрим задачу подробно.

Условие

Дан квадрат (ABCD) со стороной (\alpha). Через диагональ (BD) проведена плоскость (\beta), перпендикулярная плоскости квадрата. Требуется найти расстояния от вершин (A) и (C) до плоскости (\beta).

Анализ задачи

1. Положение квадрата: Для удобства расположим квадрат (ABCD) в декартовой системе координат в плоскости (xy), где вершины имеют следующие координаты:

   • (A(0, 0, 0)),
   • (B(\alpha, 0, 0)),
   • (C(0, \alpha, 0)),
   • (D(\alpha, \alpha, 0)).

2. Диагональ (BD): Диагональ (BD) соединяет точки (B(\alpha, 0, 0)) и (D(\alpha, \alpha, 0)).

3. Плоскость (\beta): Плоскость (\beta) проходит через диагональ (BD) и перпендикулярна плоскости квадрата ((xy)). Это означает, что нормаль к плоскости (\beta) лежит в плоскости квадрата ((xy)).

Построение уравнения плоскости (\beta)

1. Направляющие векторы для плоскости (\beta):

   • Один направляющий вектор лежит вдоль диагонали (BD). Он равен: [ \vec{BD} = (\alpha - \alpha, \alpha - 0, 0 - 0) = (0, \alpha, 0). ]
   • Второй направляющий вектор перпендикулярен плоскости квадрата, то есть имеет направление вдоль оси (z): [ \vec{e} = (0, 0, 1). ]

2. Нормальный вектор к плоскости (\beta): Векторное произведение (\vec{BD} \times \vec{e}) даст нормальный вектор к плоскости (\beta): [ \vec{n} = \vec{BD} \times \vec{e} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 0 & \alpha & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 0 - 0 \cdot \alpha) - \vec{j}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - \alpha \cdot 0). ] После упрощения: [ \vec{n} = \alpha \vec{i} - 0 \vec{j} + 0 \vec{k} = (\alpha, 0, 0). ]

3. Уравнение плоскости (\beta): Плоскость (\beta) проходит через точку (B(\alpha, 0, 0)). Общее уравнение плоскости: [ n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0, ] где ((n_x, n_y, n_z)) — координаты нормального вектора, а ((x_0, y_0, z_0)) — координаты точки на плоскости.

   Подставляем (n_x = \alpha), (n_y = 0), (n_z = 0), (x_0 = \alpha), (y_0 = 0), (z_0 = 0): [ \alpha (x - \alpha) + 0 \cdot (y - 0) + 0 \cdot (z - 0) = 0. ] Упрощаем: [ x = \alpha. ] Это означает, что плоскость (\beta) — это вертикальная плоскость, параллельная оси (yz), проходящая через точку (x = \alpha).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки ((x_1, y_1, z_1)) до плоскости (\beta: x = \alpha) вычисляется по формуле: [ d = \frac{|x_1 - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = |x_1 - \alpha|. ] Здесь ((1, 0, 0)) — нормальный вектор к плоскости.

1. Расстояние от точки (A(0, 0, 0)) до (\beta): Подставляем (x_1 = 0): [ d_A = |0 - \alpha| = \alpha. ]

2. Расстояние от точки (C(0, \alpha, 0)) до (\beta): Подставляем (x_1 = 0): [ d_C = |0 - \alpha| = \alpha. ]

Ответ

Расстояние от вершин (A) и (C) до плоскости (\beta) равно (\alpha).

Для решения данной задачи нужно понять, как расположены заданные элементы в пространстве. Начнем с того, что у нас есть квадрат ABCD со стороной α. Поскольку квадрат находится в плоскости, мы можем расположить его в координатной системе. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(α, 0, 0)
• C(α, α, 0)
• D(0, α, 0)

Диагональ BD проходит от точки B(α, 0, 0) до точки D(0, α, 0). Теперь найдем уравнение плоскости, которая проходит через эту диагональ и перпендикулярна плоскости квадрата ABCD.

Вектор BD можно выразить как:

[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0, \alpha, 0) - (\alpha, 0, 0) = (-\alpha, \alpha, 0) ]

Плоскость, перпендикулярная плоскости квадрата, будет иметь нормальный вектор, который является вектором, находящимся в плоскости квадрата. Например, нормальный вектор к плоскости квадрата ABCD может быть выражен как (0, 0, 1), так как квадрат лежит в плоскости z = 0.

Плоскость, проходящая через линию BD и имеющая нормальный вектор (0, 0, 1), будет иметь уравнение вида:

[ 0(x - \alpha) + 0(y - \alpha) + 1(z - 0) = 0 ]

Таким образом, уравнение плоскости (β) будет просто z = 0, что означает, что эта плоскость совпадает с плоскостью квадрата ABCD.

Теперь определим, чему равны расстояния от вершин A и C до плоскости (β). Поскольку плоскость (β) является плоскостью z = 0, расстояние от точки до плоскости можно вычислить как абсолютное значение z-координаты точки.

• Для точки A(0, 0, 0) z-координата равна 0. Следовательно, расстояние от A до плоскости (β) равно:

[ d_A = |0| = 0 ]

• Для точки C(α, α, 0) z-координата также равна 0. Следовательно, расстояние от C до плоскости (β) равно:

[ d_C = |0| = 0 ]

Таким образом, расстояния от вершин A и C до плоскости (β) равны 0.