Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость , образующая с плоскостью треугольника...

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту треугольника из вершины С до плоскости, проведенной через гипотенузу.

Из условия задачи известно, что угол между плоскостью и треугольником равен 60 градусов. Так как треугольник прямоугольный, то плоскость, проходящая через гипотенузу, будет перпендикулярна катету, соответственно угол между этим катетом и плоскостью также равен 90 градусов.

Зная угол между плоскостью и треугольником, а также угол между плоскостью и катетом, можем найти угол между плоскостью и гипотенузой. Он будет равен 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза (6 дм) и угол между гипотенузой и плоскостью (30 градусов). Мы можем найти высоту треугольника (расстояние от вершины C до плоскости) с помощью тригонометрии:

h = AB * sin(30 градусов)

h = 6 sin(30°) = 6 0.5 = 3 дм

Таким образом, расстояние от вершины C до плоскости, проходящей через гипотенузу, равно 3 дм.

Для решения данной задачи необходимо применить понятия из стереометрии.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом при вершине ( C ). Пусть ( AC = 3 ) дм, ( BC = 6 ) дм. Найдем длину гипотенузы ( AB ).

Согласно теореме Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ дм}. ]

Плоскость (\alpha) проходит через гипотенузу ( AB ) и образует с плоскостью ( \triangle ABC ) двугранный угол ( 60^\circ ). Нам нужно найти расстояние от вершины ( C ) до этой плоскости.

Для этого воспользуемся понятием перпендикуляра из точки к плоскости. Пусть ( H ) – основание перпендикуляра, опущенного из точки ( C ) на плоскость (\alpha). Расстояние от точки ( C ) до плоскости (\alpha) есть длина ( CH ).

Рассмотрим треугольник ( CHD ), где ( D ) – проекция точки ( C ) на прямую ( AB ). В этом треугольнике угол между прямыми ( CD ) и ( CH ) равен ( 60^\circ ).

По определению двугранного угла, угол между перпендикулярами к общей линии пересечения плоскостей равен ( 60^\circ ). Так как прямая ( CD ) перпендикулярна ( AB ) и лежит в плоскости ( \triangle ABC ), угол ( CHD = 60^\circ ).

Теперь найдем длину ( CD ). Используем проекцию ( C ) на ( AB ).

Проекция точки ( C ) на ( AB ) равна: [ D = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot 6}{3\sqrt{5}} = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \text{ дм}. ]

Теперь найдем ( CH ), зная, что угол ( CHD = 60^\circ ): [ CH = CD \cdot \sin(60^\circ) = \frac{6}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15}}{5} \text{ дм}. ]

Таким образом, расстояние от вершины ( C ) до плоскости (\alpha) равно: [ \frac{3\sqrt{15}}{5} \text{ дм}. ]