Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам....

Для решения данной задачи обратимся к свойству треугольников, образованных параллельными прямыми.

По условию, прямые, проходящие через середину гипотенузы и параллельные катетам, делят треугольник на два подобных треугольника. Обозначим длину катета AC как a, катета BC как b, а гипотенузы AB как c.

Так как прямая, проходящая через середину гипотенузы, параллельна катету AC, то треугольники AMO и OMC подобны треугольнику ABC. То же самое касается треугольников BON и ONC.

Из подобия треугольников AMO и OMC получаем, что AM/OO = MO/OC, где OO = c/2. Таким образом, AM/(c/2) = MO/(a/2) => AM = MO * c/a.

Аналогично из подобия треугольников BON и ONC получаем, что BN/(c/2) = NO/(b/2) => BN = NO * c/b.

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих AM, MO, BN и NO. Так как MN = 7 см, то AM + BN = 7.

Подставляем найденные выражения для AM и BN в уравнение AM + BN = 7 и находим значение гипотенузы AB.

AB = AM + BN = MO c/a + NO c/b = c/2 * (MO/a + NO/b).

Таким образом, найденное выражение для гипотенузы AB позволяет нам найти ее значение, зная длины катетов и длину отрезка MN.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников и теоремой Фалеса.

1. Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AB.
2. Точка O — середина гипотенузы AB. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы также является центром описанной окружности вокруг треугольника.
3. Прямые, проведенные через O параллельно катетам AC и BC, образуют с катетами и гипотенузой прямоугольные треугольники AMO и BNO, которые являются подобными треугольнику ABC, так как все они имеют по одному прямому углу и углы при вершинах A и B общие соответственно.

Поскольку O — середина AB, то AO = OB = 1/2 AB. Так как AM и BN параллельны катетам BC и AC соответственно, то по теореме Фалеса отрезки AM и BN равны половинам катетов AC и BC. Следовательно, четырёхугольник AMNB также является прямоугольником (так как противоположные стороны параллельны и равны), и его диагональ MN равна диагонали прямоугольника, то есть гипотенузе треугольника AMO или BNO.

Поскольку треугольник AMO подобен ABC в соотношении 1:2 (так как AM = 1/2 BC и MO = 1/2 AC), длина MN, являющаяся гипотенузой треугольника AMO, также в два раза меньше длины гипотенузы AB треугольника ABC.

Таким образом, если MN = 7 см, тогда AB = 2 MN = 2 7 = 14 см.

Ответ: гипотенуза AB равна 14 см.