Через точку А, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружности радиуса 11 см, проведена хорда, которую точка А делит в отношении 2:3. Найдите длину этой хорды.
Через точку А, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружности радиуса 11 см, проведена хорда, которую точка А делит в отношении 2:3. Найдите длину этой хорды.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством окружности, которое гласит, что хорда, проходящая через центр окружности, делит ее на две равные части. Таким образом, мы можем построить радиус, проведя его из центра окружности к точке А.
Теперь, так как точка А делит хорду в отношении 2:3, то длина отрезка, соединяющего точку А с точкой пересечения хорды и радиуса, будет 2/5 от длины хорды, а длина отрезка, соединяющего точку пересечения хорды и радиуса с концом хорды, будет 3/5 от длины хорды.
Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника с гипотенузой равной радиусу окружности (11 см) и катетами, равными 2/5 и 3/5 длины хорды. По теореме Пифагора можем найти длину каждого катета:
(2/5 x)^2 + (3/5 x)^2 = 11^2 4/25 x^2 + 9/25 x^2 = 121 13/25 x^2 = 121 x^2 = 121 25 / 13 x^2 = 225 x = 15
Таким образом, длина хорды равна 15 * 5 = 75 см.
Длина хорды равна 14 см.
Для решения данной задачи будем использовать несколько геометрических теорем и соотношений. Давайте обозначим центр окружности буквой ( O ), точку на окружности, через которую проходит хорда, буквой ( A ), и хорду будем обозначать ( BC ), где ( B ) и ( C ) — точки пересечения хорды с окружностью.
Точка ( A ) делит хорду ( BC ) в отношении 2:3. Это значит, что если обозначить длину отрезка ( AB ) через ( 2x ), то длина отрезка ( AC ) будет равна ( 3x ). Таким образом, длина хорды ( BC ) равна ( 2x + 3x = 5x ).
Введем обозначение ( D ) для середины хорды ( BC ). Тогда отрезок ( AD ) будет перпендикулярен хорде ( BC ), и ( AD ) делит хорду пополам. Следовательно, ( D ) — середина хорды ( BC ), и мы можем выразить её длину через ( x ): ( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{5x}{2} ).
Теперь рассмотрим треугольник ( OAD ). По условию задачи ( OA = 5 ) см, и ( OD ) является радиусом окружности, который равен 11 см. Поскольку ( AD ) перпендикулярно ( BC ), то треугольник ( OAD ) — прямоугольный. В этом треугольнике гипотенуза ( OD = 11 ) см, а катет ( OA = 5 ) см.
Используя теорему Пифагора в треугольнике ( OAD ), можем найти длину ( AD ): [ OD^2 = OA^2 + AD^2 ] [ 11^2 = 5^2 + AD^2 ] [ 121 = 25 + AD^2 ] [ AD^2 = 121 - 25 ] [ AD^2 = 96 ] [ AD = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \, \text{см} ]
Мы знаем, что ( AD ) является высотой в прямоугольном треугольнике ( ABD ) (где ( BD = \frac{5x}{2} )), и можем использовать это знание для нахождения ( BD ).
В треугольнике ( ABD ), по теореме Пифагора: [ AB^2 = AD^2 + BD^2 ] [ (2x)^2 = (4\sqrt{6})^2 + \left(\frac{5x}{2}\right)^2 ] [ 4x^2 = 96 + \frac{25x^2}{4} ] [ 4x^2 = 96 + 6.25x^2 ] [ 4x^2 - 6.25x^2 = 96 ] [ -2.25x^2 = 96 ] [ x^2 = \frac{96}{-2.25} ] [ x^2 = -\frac{96}{2.25} ] [ x^2 = -\frac{96}{2.25} ] [ x^2 \approx -42.67 ]
Так как отрицательное значение не имеет физического смысла в данной геометрической задаче, это указывает на ошибку в вычислениях либо в предположениях. Пересмотрев задачу, правильное выражение для ( AD ) и ( x ) должен быть:
[ 96 = 25 + ( \frac{5x}{2})^2] [ 96 - 25 = (\frac{5x}{2})^2] [ 71 = \frac{25x^2}{4}] [ 284 = 25x^2 ] [ x^2 = \frac{284}{25} ] [ x^2 = 11.36 ] [ x \approx \sqrt{11.36} \approx 3.37 ]
Таким образом, длина хорды ( BC ) будет: [ BC = 5x = 5 \cdot 3.37 \approx 16.85 \, \text{см}. ]
Ответ: длина хорды ( BC ) приблизительно 16.85 см.
