Через точку B, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой B на отрезки длинной...

Для решения задачи можно применить теорему о секущей и касательной. Согласно этой теореме, произведение длин отрезков, на которые делит хорду точка, лежащая внутри окружности, равно произведению длин отрезков секущей, проведённой через эту точку, один из которых заканчивается на окружности, а другой – на хорде.

Пусть ( AB = 8 ) см и ( BC = 12 ) см, где ( B ) – точка на хорде, а ( A ) и ( C ) – точки на окружности. Также дано, что расстояние от центра окружности ( O ) до точки ( B ) равно 5 см. Нам нужно найти радиус ( R ) окружности.

Для применения теоремы о секущей и касательной, проведем из точки ( B ) радиус ( OB ). Так как ( OB ) перпендикулярен хорде ( AC ) в её средней точке (свойство радиуса, перпендикулярного хорде), точка ( B ) делит хорду ( AC ) на два отрезка: ( AB = 8 ) см и ( BC = 12 ) см.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ( OBD ), где ( D ) – середина хорды ( AC ). Известно, что ( BD = \frac{AC}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 ) см. Тогда:

[ OB^2 + BD^2 = OD^2 ] [ 5^2 + 10^2 = OD^2 ] [ 25 + 100 = OD^2 ] [ 125 = OD^2 ] [ OD = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \text{ см} ]

Так как ( OD ) является расстоянием от центра окружности до середины хорды ( AC ), и радиус ( R ) окружности можно выразить как:

[ R^2 = OB^2 + BD^2 ] [ R = \sqrt{5^2 + 10^2} ] [ R = \sqrt{25 + 100} ] [ R = \sqrt{125} ] [ R = 5\sqrt{5} \text{ см} ]

Таким образом, радиус окружности равен ( 5\sqrt{5} ) см.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса окружности. Пусть точка центра окружности обозначается как O, а точка пересечения хорды и радиуса - как M.

Так как хорда делит радиус окружности перпендикулярно, то точка M является серединой хорды. Таким образом, отрезки, на которые хорда делит радиус, равны между собой и равны половине длины хорды. По условию, длина одного отрезка равна 8 см, а другого - 12 см.

Таким образом, длина хорды AB равна 8 + 12 = 20 см. Тогда длина AM (или MB) равна половине длины хорды, то есть 10 см.

Теперь рассмотрим треугольник OMB. Он является прямоугольным, так как радиус окружности перпендикулярен хорде. Также, из условия задачи, длина отрезка BM равна 5 см (так как точка B удалена от центра окружности на 5 см).

Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения радиуса окружности: OM^2 + BM^2 = OB^2 10^2 + 5^2 = OB^2 100 + 25 = OB^2 125 = OB^2 OB = √125 = 5√5

Итак, радиус окружности равен 5√5 см.