Через точку O, расположенную между параллельными плоскостями a и b ,проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках A и A1, B и B1. 1) Как расположены прямые AB и A1B1? (Ответ поясните.) 2) Вычислите длину отрезка A1B1, если AB = 18см, AO : OA1 = 3 : 5.
1) Прямые AB и A1B1 параллельны, так как они пересекают параллельные плоскости a и b. Рассмотрим треугольники OAB и OAA1. По условию, AO : OA1 = 3 : 5, значит точка A1 находится ближе к точке O, чем точка A. Таким образом, отрезок A1B1 будет короче отрезка AB.
2) Поскольку отрезок AB делится точкой O в отношении 3 : 5, то длина отрезка AO равна 3/8 от длины отрезка AB (так как 3/(3+5) = 3/8), а длина отрезка OA1 равна 5/8 от длины отрезка AB. Так как отрезок A1B1 параллелен отрезку AB, то длина отрезка A1B1 равна 5/8 от длины отрезка AB, то есть 5/8 * 18см = 11.25см.
1) Расположение прямых AB и A1B1:
Прежде всего, рассмотрим, как расположены точки A, A1, B и B1. Поскольку точка O находится между параллельными плоскостями a и b, и через неё проведены прямые, пересекающие эти плоскости, то прямые OA и OA1, OB и OB1 являются соответствующими отрезками прямых, пересекающих плоскости. Прямые OA и OB лежат в одной плоскости, а точно так же прямые OA1 и OB1 также лежат в одной плоскости.
Исходя из того, что плоскости a и b параллельны, любые две прямые, пересекающие эти плоскости и проведенные через одну и ту же точку в пространстве (в данном случае точка O), также будут параллельны (по теореме о трёх перпендикулярах). Следовательно, прямые AB и A1B1 параллельны.
2) Вычисление длины отрезка A1B1:
Для начала найдём отношение, в котором делится отрезок OA1 прямой OA, исходя из соотношения AO : OA1 = 3 : 5. Это означает, что отрезок OA делится точкой A1 в отношении 3:5 от точки O к точке A1.
Пусть OA = x, тогда OA1 = x (5/8), где x — полная длина отрезка от O до A1 (поскольку 3/8 от x приходится на OA, а 5/8 — на A1). Аналогично, OB = x, OB1 = x (5/8), поскольку OB и OB1 лежат в одной плоскости и деление отрезков аналогично делению отрезков OA и OA1.
Так как прямые AB и A1B1 параллельны, и отрезки OA и OA1, OB и OB1 делены в одинаковом отношении, то отрезки AB и A1B1 также будут делиться в этом же отношении. Известно, что AB = 18 см, следовательно, чтобы найти A1B1, умножим AB на соотношение масштабирования отрезков: [ A1B1 = AB \times \frac{5}{8} = 18 \times \frac{5}{8} = 11.25 \text{ см} ]
Таким образом, длина отрезка A1B1 составляет 11.25 см.
