Цилиндр образован вращением прямоугольника с диогональю 5 см вокруг стороны с длиной 3см, а) найти обьем...

а) Объем цилиндра равен V = πr^2h, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра. Так как сторона прямоугольника равна 3 см, то радиус цилиндра равен 1.5 см. Высота цилиндра равна диагонали прямоугольника, то есть 5 см. Подставляем значения в формулу и получаем V = π 1.5^2 5 ≈ 35.32 см^3.

б) Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2πrh + 2πr^2. Подставляем значения и получаем S = 2π 1.5 5 + 2π * 1.5^2 ≈ 47.12 см^2.

Для решения задачи, нам необходимо понять, как прямоугольник превращается в цилиндр при вращении и использовать соответствующие формулы для вычисления объема и площади поверхности цилиндра.

Дано:

1. Диагональ прямоугольника: ( d = 5 ) см
2. Одна из сторон прямоугольника: ( a = 3 ) см

Шаг 1: Найти вторую сторону прямоугольника

Пусть вторая сторона прямоугольника будет ( b ). По теореме Пифагора для прямоугольника имеем: [ a^2 + b^2 = d^2 ]

Подставляем известные значения: [ 3^2 + b^2 = 5^2 ] [ 9 + b^2 = 25 ] [ b^2 = 16 ] [ b = 4 \text{ см} ]

Шаг 2: Определить параметры цилиндра

При вращении прямоугольника вокруг стороны длиной 3 см, эта сторона становится высотой цилиндра ( h = 3 ) см, а сторона длиной 4 см становится диаметром основания цилиндра. Поэтому радиус основания ( r ) будет: [ r = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} ]

Шаг 3: Найти объем цилиндра

Формула объема цилиндра: [ V = \pi r^2 h ]

Подставляем значения: [ V = \pi (2)^2 (3) ] [ V = \pi \cdot 4 \cdot 3 ] [ V = 12\pi \text{ кубических сантиметров} ]

Шаг 4: Найти площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований.

1. Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 2\pi r h ]

Подставляем значения: [ S{\text{бок}} = 2\pi (2)(3) ] [ S{\text{бок}} = 12\pi \text{ квадратных сантиметров} ]

1. Площадь двух оснований (площадь одного основания ( S{\text{осн}} = \pi r^2 )): [ S{\text{осн}} = \pi (2)^2 ] [ S_{\text{осн}} = 4\pi \text{ квадратных сантиметров} ]

Площадь двух оснований: [ 2S{\text{осн}} = 2 \cdot 4\pi ] [ 2S{\text{осн}} = 8\pi \text{ квадратных сантиметров} ]

Общая площадь поверхности цилиндра: [ S{\text{общ}} = S{\text{бок}} + 2S{\text{осн}} ] [ S{\text{общ}} = 12\pi + 8\pi ] [ S_{\text{общ}} = 20\pi \text{ квадратных сантиметров} ]

Ответы:

а) Объем цилиндра: ( 12\pi ) кубических сантиметров. б) Площадь полной поверхности цилиндра: ( 20\pi ) квадратных сантиметров.

а) Объем цилиндра можно найти по формуле V = πr^2h, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра. Радиус цилиндра равен половине диагонали прямоугольника, то есть r = 5/2 = 2.5 см. Высота цилиндра равна длине стороны прямоугольника, то есть h = 3 см. Подставляем значения в формулу: V = π (2.5)^2 3 = 18.75π см^3.

б) Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух оснований. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле Sб = 2πrh. Подставляем значения: Sб = 2π 2.5 3 = 15π см^2. Площадь основания цилиндра равна площади прямоугольника, который вращается, то есть Sосн = 3 5 = 15 см^2. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований: S = Sб + 2Sосн = 15π + 2 15 = 15(π + 2) см^2.